Фигура, заданная на координатной плоскости двойным неравенством $0\leqslant x^2+y^2-4y\leqslant10$, разрезается линиями, задаваемыми уравнением $(x+2-y)\bigl(\sqrt{3}ax+y-2\bigr)=0$, на несколько частей. Найдите наибольшее число $a$, при котором площадь наименьшей части относится к площади наибольшей части как $5:7$.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости в декартовой системе координат множество точек $(x;y)$, удовлетворяющих системе условий \[ \begin{cases} x^2-2y+3+y^2+2x\lt 10,\\ |y+2x|\geqslant|3x+2y|. \end{cases} \] Определите количество и найдите координаты всех точек с целочисленными координатами (обоими), принадлежащих полученному множеству. В ответе укажите сумму всех ординат найденных точек, умноженную на их количество.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости в декартовой системе координат множество точек $(x;y)$, удовлетворяющих системе условий \[ \begin{cases} |x+2y|\lt |2x+3y|,\\ x^2-2x+4+y^2-2y\leqslant 6. \end{cases} \] Определите количество и найдите координаты всех точек с целочисленными координатами (обоими), принадлежащих множеству-ответу. В ответе укажите сумму всех абсцисс найденных точек, умноженную на их количество.
Ответ:
Решение:
Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите её площадь: $x^2+y^2+4(x-|y|)\leqslant 0$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[ \arcsin(2x)+\arccos(2x)\geqslant\frac{\pi}{4}\cdot\left(y^2-2\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой \[ \begin{cases} \sqrt{1-x}+x\geqslant0,\\ \sqrt{x}-2\leqslant y\leqslant 2-x^2. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ |3x|+|4y|+|48-3x-4y|=48, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Вычислите площадь множества точек, координаты которых $(x;y)$ удовлетворяют неравенству \[ |x-1|+|x+1|+2|y|\leqslant 8. \]
Ответ:
Решение: