На трёх параллельных прямых $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ взяты точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ соответственно, и при этом треугольник $A_1A_2A_3$ равнобедренный. Известно, что расстояние между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$ равно 3, расстояние между $\ell_1$ и $\ell_3$ равно 13, а расстояние между $\ell_2$ и $\ell_3$ равно 16. Найдите минимально возможную площадь треугольника $A_1A_2A_3$.
Ответ:
Решение:
На трёх параллельных прямых $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ взяты точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ соответственно, и при этом $A_1A_2=A_1A_3$. Известно, что расстояние между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$ равно $5$, расстояние между $\ell_1$ и $\ell_3$ равно $8$, а расстояние между $\ell_2$ и $\ell_3$ равно $13$. Найдите минимально возможную площадь треугольника $A_1A_2A_3$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $BH$. Пусть $M$ — середина отрезка $BH$. Точку $M$ отразили симметрично относительно сторон $AB$ и $CB$, получив точки $K$ и $L$ соответственно. Радиус окружности, описанной около треугольника $KLM$, равен $13\sqrt3$. Какое наибольшее значение может принимать длина отрезка $KH$, если угол $BAC$ равен $60^\circ$?
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ со стороной $24$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно. Угол $ECF$ равен $30^\circ$. Из вершин $B$ и $D$ проведены перпендикуляры к отрезкам $CE$ и $CF$. Какая наибольшая площадь может быть у четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров?
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ со стороной $12$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно. Угол $ECF$ равен $60^\circ$. Из вершин $B$ и $D$ проведены перпендикуляры к отрезкам $CE$ и $CF$. Какая наибольшая площадь может быть у четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров?
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=5$ и $AC=6$. Какой должна быть сторона $BC$, чтобы угол $ACB$ был максимально возможным?
Ответ:
Решение:
Клиенты интернет магазина «Али-экспресс» проживают в семи домах, расположенных в вершинах выпуклого семиугольника. От жителей первого дома поступил один заказ, от второго дома — два заказа, и т. д. от жителей шестого — шесть заказов. А вот жители последнего седьмого дома сделали $21$ заказ. Менеджер магазина задумался о том в какое место следует доставить все заказы, чтобы суммарное расстояние, преодолеваемое всеми клиентами для получения товара, было минимально возможным. Помогите ему в решении этой задачи и обоснуйте результат.
Ответ:
Решение:
Расстояние между центрами двух квадратов со стороной 1 равно $0{,}8$, а одна из сторон первого квадрата параллельна одной из сторон второго. Какую наименьшую площадь может иметь их общая часть?
Ответ:
Решение:
Какая наибольшая площадь может быть у треугольника, если длины двух его медиан равны $12$ и $17$, а угол между ними равен $150^\circ$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: