По окружности выписаны 2022 единицы. Два игрока ходят по очереди: за один ход игрок стирает два соседних числа из написанных и пишет вместо них их сумму (один раз). Выигрывает тот, кто получит число 4. Если в конце игры остаётся одно число, не равное 4, игра оканчивается вничью. Может ли кто-то из игроков обеспечить себе победу, и если да, то каким образом?
Ответ:
Решение:
Петя и Вася играют в игру. На доске написано число:\[11223334445555666677777.\]За один ход разрешается стереть любое количество одинаковых цифр. Выигрывает тот, кто сотрёт последнюю цифру. Петя ходит первым. Может ли он так ходить, чтобы гарантированно выиграть?
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа разбили на «хорошие» и «плохие» по следующим правилам:
1) из любого плохого числа можно вычесть некоторое натуральное число, не превосходящее его половины, так, чтобы получившаяся разность стала «хорошей»;
2) из «хорошего» числа нельзя вычесть не более половины так, чтобы оно осталось «хорошим».
Известно, что число 1 — «хорошее». Найдите ближайшее к 2015 «хорошее» число.
1) из любого плохого числа можно вычесть некоторое натуральное число, не превосходящее его половины, так, чтобы получившаяся разность стала «хорошей»;
2) из «хорошего» числа нельзя вычесть не более половины так, чтобы оно осталось «хорошим».
Известно, что число 1 — «хорошее». Найдите ближайшее к 2015 «хорошее» число.
Ответ:
Решение:
Аля и Валя испекли пирог прямоугольной формы со сторонами 20 и 15 см и решили сыграть в такую игру. Каждая из них по очереди делает не более двух параллельных разрезов и съедает один из имеющихся кусков. При этом куски перекладывать нельзя. За один ход обязательно нужно съесть кусок, но не более 1/10 пирога. Запрещено резать пирог так, чтобы получались куски меньше 1/100 пирога. Побеждает тот, кто доел пирог. Кто выигрывает при правильной игре, если начинает Аля? Какая стратегия выигрышная?
Ответ:
Решение: