В конференции участвуют 2026 математиков, у каждого из которых есть некоторое количество друзей (возможно, ни одного) среди остальных. Дружба взаимна. Известно, что выполняется условие: если двое математиков дружат, то количества друзей у них отличаются ровно на 1. Найдите наибольшее возможное количество пар друзей.
Ответ:
Решение:
На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. При каких $\alpha$ можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в которых отличаются не более чем на $\alpha$ л?
Ответ:
Решение:
На столе по кругу выложили 100 двухрублевых и $N$ пятирублевых монет в некотором порядке. Известно, что выбрав из круга несколько подряд идущих монет, невозможно получить сумму ровно в 52 рубля. Найдите наибольшее возможное значение числа $N$.
Ответ:
Решение:
Шахматного короля поставили на клетку доски $8\times8$ и сделали им 64 хода так, что он побывал на всех клетках и вернулся в исходную клетку. В каждый момент времени вычислялось расстояние от центра клетки, в которой находился король, до центра всей доски. Назовём сделанный ход приятным, если в результате хода это расстояние стало меньше, чем было до хода. Найдите наибольшее возможное количество приятных ходов. (Шахматный король за один ход передвигается на клетку, соседнюю по стороне или по углу.)
Ответ:
Решение:
Несколько карточек выложили в ряд слева направо, на каждой карточке написана буква русского алфавита. Назовем набор из 33 карточек идеальным, если на этих карточках выписаны все буквы в алфавитном порядке слева направо. Известно, что при любом выборе одной буквы $L$ русского алфавита найдутся $10^6$ идеальных наборов, любые два из которых либо не имеют общих карточек, либо имеют ровно одну общую карточку, на которой написана буква $L$. При каком наибольшем $k$ в этом ряду гарантированно можно найти $k$ идеальных наборов, любые два из которых не имеют общих карточек?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $N$. Куб со стороной $2N+1$ сложен из $(2N+1)^3$ единичных кубиков, каждый из которых — либо чёрный, либо белый. Оказалось, что среди любых 8 кубиков, имеющих общую вершину и образующих куб $2\times2\times2$, не более 4 чёрных кубиков. Какое наибольшее количество чёрных кубиков могло быть использовано?
Ответ:
Решение:
В клетчатом прямоугольнике $2\times100$ каждую клетку красят в белый или черный цвет. Доминошкой будем называть клетчатый прямоугольник $1\times2$ или $2\times1$. Оказалось, что существует единственный способ разбить данный прямоугольник $2\times100$ на доминошки так, чтобы каждая доминошка покрывала хотя бы 1 черную клетку. Какое наибольшее количество клеток могло быть покрашено в черный цвет?
Ответ:
Решение:
В программу соревнования входит 25 видов спорта, в каждом из которых определяется один победитель, получающий золотую медаль. В соревновании участвуют 25 спортсменов, каждый — во всех 25 видах спорта. Имеется 25 экспертов, каждый из которых должен сделать прогноз, сколько золотых медалей получит каждый спортсмен, при этом в его прогнозе количества медалей должны являться целыми неотрицательными числами с суммой 25. Эксперта признают компетентным, если он верно угадает количество золотых медалей хотя бы у одного спортсмена. При каком наибольшем $k$ эксперты могут сделать такие прогнозы, что хотя бы $k$ из них будут признаны компетентными независимо от исхода соревнования?
Ответ:
Решение:
На плоскости отмечены 106 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и проведены все отрезки между ними. Гриша поставил на каждом проведённом отрезке вещественное число, по модулю не превосходящее 1, и для каждой шестёрки отмеченных точек посчитал сумму чисел на всех 15 отрезках, соединяющих их. Оказалось, что каждая такая сумма по модулю не меньше числа $C$, при этом среди таких сумм есть как положительная, так и отрицательная. При каком наибольшем $C$ это возможно?
Ответ:
Решение:
1000 детей, среди которых нет двух одинакового роста, выстроились в шеренгу. Назовём пару различных детей $(a,b)$ хорошей, если между ними не стоит ребёнка, рост которого больше роста одного из $a$ и $b$, но меньше роста другого. Какое наибольшее количество хороших пар могло образоваться? (Пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются одной и той же парой.)
Ответ:
Решение:
Двум мальчикам выдали по мешку картошки, в каждом мешке по 150 клубней. Ребята по очереди перекладывают картошку, каждый своим очередным ходом перекладывает ненулевое количество клубней из своего мешка в чужой. При этом они должны соблюдать условие новой возможности: на каждом ходе мальчик должен переложить больше клубней, чем у него было в мешке перед любым из его предыдущих ходов (если такие ходы были). Так, первым своим ходом мальчик может переложить любое ненулевое количество, а своим пятым ходом мальчик может переложить 200 клубней, если перед его первым, вторым, третьим и четвёртым ходами количества клубней в его мешке были меньше 200. Какое максимальное суммарное количество ходов могут совершить ребята?
Ответ:
Решение:
Каждый из 2024 людей является рыцарем или лжецом. Некоторые из них дружат друг с другом, причем дружба взаимна. Каждого из них спросили про количество друзей, и все ответы оказались различными целыми числами от 0 до 2023. Известно, что
- все рыцари отвечали на вопрос верно,
- все лжецы изменяли истинный ответ ровно на 1.
Ответ:
Решение:
Дано нечётное число $n\geqslant 3$. В клетчатом квадрате $2n\times2n$ закрашивают $2(n-1)^2$ клеток. Какое наибольшее количество трёхклеточных уголков можно гарантированно вырезать из незакрашенной клетчатой фигуры?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $k$. Вдоль дороги стоят $n$ столбов через равные промежутки. Миша покрасил их в $k$ цветов и для каждой пары одноцветных столбов, между которыми нет других столбов того же цвета, вычислил расстояние между ними. Все эти расстояния оказались различны. При каком наибольшем $n$ так могло оказаться?
Ответ:
Решение:
В классе 18 детей. Родители решили подарить детям из этого класса торт. Для этого они сначала узнали у каждого ребёнка площадь куска, который он хочет получить. После этого они заказали торт квадратной формы, площадь которого в точности равна сумме 18 названных чисел. Однако, увидев торт, дети захотели, чтобы их куски тоже были квадратными. Родители могут резать торт разрезами, параллельными сторонам торта (разрезы не обязаны начинаться или оканчиваться на стороне торта). Для какого наибольшего $k$ родители гарантированно могут вырезать из заказанного торта $k$ квадратных кусков, которые можно выдать $k$ детям, чтобы каждый из них получил желаемое?
Ответ:
Решение:
Пусть $S$ — 100-элементное множество, состоящее из натуральных чисел, не превосходящих 10 000. Отметим в пространстве все точки, каждая из координат которых принадлежит множеству $S$. К каждой из 1 000 000 отмеченных точек $(x,y,z)$ прикрепим шарик с написанным на нём числом $\dfrac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$. На каком наибольшем количестве шариков может быть написано число, равное 2?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. Саша утверждает, что для любых $n$ лучей в пространстве, никакие два из которых не имеют общих точек, он сможет отметить на этих лучах $k$ точек, лежащих на одной сфере. При каком наибольшем $k$ его утверждение верно?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n\gt 4$. На плоскости отмечены $n$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Василий проводит по одному все отрезки, соединяющие пары отмеченных точек. На каждом шаге, проводя очередной отрезок $S$, Василий помечает его наименьшим натуральным числом, которым ещё не помечен ни один отрезок, имеющий с $S$ общий конец. Для какого наибольшего $k$ Василий может действовать так, чтобы пометить какой-то отрезок числом $k$?
Ответ:
Решение:
На плоскости отмечены $N$ точек. Любые три из них образуют треугольник, величины углов которого в градусах выражаются натуральными числами. При каком наибольшем $N$ это возможно?
Ответ:
Решение:
В алфавите $n\gt 1$ букв; словом является каждая конечная последовательность букв, в которой любые две соседние буквы различны. Слово называется хорошим, если из него нельзя вычеркнуть все буквы, кроме четырёх, так, чтобы осталась последовательность вида $aabb$, где $a$ и $b$ — различные буквы. Найдите наибольшее возможное количество букв в хорошем слове.
Ответ:
Решение: