В шахматном турнире соревнуются друг с другом команда школьников и команда студентов, в каждой из которых по 15 человек. В течение турнира каждый школьник должен сыграть с каждым студентом ровно один раз, причём каждый день каждый человек должен играть не более одного раза. В разные дни могло проводиться разное количество игр.
В некоторый момент турнира организатор заметил, что может составить расписание на следующий день из 15 игр ровно 1 способом, а из 1 игры — $N$ способами (порядок игр в расписании не важен, важно лишь кто с кем играет). Найдите наибольшее возможное значение $N$.
В некоторый момент турнира организатор заметил, что может составить расписание на следующий день из 15 игр ровно 1 способом, а из 1 игры — $N$ способами (порядок игр в расписании не важен, важно лишь кто с кем играет). Найдите наибольшее возможное значение $N$.
Ответ:
Решение:
Экскурсионная группа из 6 туристов осматривает достопримечательности. Около каждой достопримечательности три человека фотографируются, а остальные их фотографируют. После какого минимального числа достопримечательностей каждый турист будет иметь фотографии всех остальных участников экскурсии?
Ответ:
Решение:
Треугольник разбит на треугольные ячейки так, как показано на рисунке. В каждую ячейку вписали натуральное число. Для каждой стороны треугольника есть четыре слоя, параллельных этой стороне, содержащие семь, пять, три и одну ячейку соответственно. Оказалось, что сумма чисел в каждом из этих двенадцати слоёв — простое число. Какова наименьшая возможная сумма всех записанных чисел?
Ответ:
Решение:
В каждой клетке квадрата размером $5\times5$ клеток провели ровно одну диагональ. Вершина клетки свободна, если она не является концом никакой из проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество свободных вершин.
Ответ:
Решение:
На доске написано $n$ различных целых чисел. Произведение двух наибольших равно 77. Произведение двух наименьших тоже равно 77. При каком наибольшем $n$ это возможно?
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на доске размером $8\times9$ так, чтобы среди любых пяти подряд идущих клеток по горизонтали, вертикали или диагонали была отмеченная клетка?
Ответ:
Решение:
У царя восемь сыновей, и все дураки. Каждую ночь царь отправляет троих из них стеречь золотые яблоки от жар-птицы. Поймать жар-птицу царевичи не могут, винят в этом друг друга, и поэтому никакие двое не соглашаются пойти вместе в караул второй раз. Какое наибольшее количество ночей это может продолжаться?
Ответ:
Решение:
На саммит съехались 2018 политиков. Каждые двое собирались провести переговоры без свидетелей. В какой-то момент оказалось, что среди любых четверых найдётся такой, который уже поговорил с тремя остальными. Какое наибольшее количество переговоров осталось провести?
Ответ:
Решение:
Внутри выпуклого пятиугольника отметили точку и соединили её со всеми вершинами. Какое наибольшее число из десяти проведённых отрезков (пяти сторон и пяти отрезков, соединяющих отмеченную точку с вершинами пятиугольника) может иметь длину 1?
Ответ:
Решение:
На шахматной доске стоял 21 король. Каждый из королей находился под боем хотя бы одного из остальных. После того как несколько королей убрали, никакие два из оставшихся королей друг друга не бьют. Какое наибольшее число королей могло остаться?
а) Приведите пример исходной расстановки и отметьте убранных королей.
б) Докажите, что большее число королей остаться не могло.
а) Приведите пример исходной расстановки и отметьте убранных королей.
б) Докажите, что большее число королей остаться не могло.
Ответ:
Решение:
Олег нарисовал пустую таблицу $50\times50$ и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 — иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал сумму чисел, написанных около её строки и её столбца («таблица сложения»). Какое наибольшее количество сумм в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
Ответ:
Решение:
Олег нарисовал пустую таблицу $50\times50$ и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по ненулевому числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 — иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца («таблица умножения»). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?
Ответ:
Решение:
После просмотра фильма зрители по очереди оценивали фильм целым числом баллов от 0 до 10. В каждый момент времени рейтинг фильма вычислялся как сумма всех выставленных оценок, делённая на их количество. В некоторый момент времени $T$ рейтинг оказался целым числом, а затем с каждым новым проголосовавшим зрителем он уменьшался на единицу. Какое наибольшее количество зрителей могло проголосовать после момента $T$?
Ответ:
Решение:
За круглым столом сидели 99 человек, все разного роста. Каждый честно ответил на два вопроса:
- «Вы выше, чем ваш сосед справа?»
- «Вы выше, чем оба ваших соседа — справа и слева?»
Ответ:
Решение:
На презентации фирмы «Рога и Копыта» было 30 депутатов и бизнесменов. Известно, что депутаты всегда говорят правду, а бизнесмены могут говорить все, что угодно. Их всех усадили за один круглый стол. Во время неофициальной части каждый из них сделал заявление: «Среди двух моих соседей есть хотя бы один бизнесмен». Какое наибольшее число депутатов могло быть на презентации?
Ответ:
Решение:
При каком наибольшем натуральном $k$ клетки таблицы $5\times5$ можно заполнить нулями и единицами (в каждой клетке должно стоять ровно одно число) так, чтобы нашлись $k$ строк, в каждой из которых сумма чисел не меньше 3, и $k$ столбцов, в каждом из которых сумма чисел не больше 2?
Ответ:
Решение:
В турнире онлайн-игры участвуют 64 персонажа. В каждом из 6 раундов персонажи разбиваются на пары, сражаются между собой, победитель проходит дальше.
Изначально уровни персонажей были равны $1, 2, \ldots, 64$. В битве всегда побеждает персонаж с б\'{о}льшим уровнем, а если уровни одинаковы, может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в ту или иную сторону, а может остаться прежним.
Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем мог победить в турнире?
Изначально уровни персонажей были равны $1, 2, \ldots, 64$. В битве всегда побеждает персонаж с б\'{о}льшим уровнем, а если уровни одинаковы, может победить любой. После каждого тура уровень персонажа может измениться на 1 в ту или иную сторону, а может остаться прежним.
Персонаж с каким наименьшим стартовым уровнем мог победить в турнире?
Ответ:
Решение:
Дана колода из 300 карт, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до 300 (каждое число встречается по одному разу). Петя раскладывает пасьянс. Для этого Петя выкладывает карты в прямоугольник $3\times100$ (3 строки, 100 столбцов) так, что числа на картах в каждом столбце возрастают сверху вниз, а также любое число в нижней строке больше любого числа в верхней строке. Удачностью пасьянса называется сумма всех чисел на карточках в верхней и нижней строках. Какой максимальной удачности пасьянс может выложить Петя?
Ответ:
Решение:
На праздновании Нового Года 40 школьников встали в хоровод. Каждую минуту один из школьников, которому не дарили подарков и который не дарил подарок, дарит подарок одному из двух ближайших слева соседей (можно дарить подарок школьнику, даже если у него уже есть подарок). Когда каждый школьник подарил или получил хотя бы один подарок, обмен подарками заканчивается.
1. Какое максимальное количество школьников могло получить подарки?
2. Какое минимальное количество школьников могло получить подарки?
1. Какое максимальное количество школьников могло получить подарки?
2. Какое минимальное количество школьников могло получить подарки?
Ответ:
Решение:
Среди учеников 10 класса в одной школе 93% учеников знает Python, 81% учеников знает C++ и 62% учеников знает Java. Других языков программирования никто не знает. Пусть $a$ — процент учеников, знающих ровно два языка программирования.
а) Чему равно наибольшее возможное значение $a$?
б) Чему равно наименьшее возможное значение $a$?
а) Чему равно наибольшее возможное значение $a$?
б) Чему равно наименьшее возможное значение $a$?
Ответ:
Решение: