Найдите количество десятибуквенных «слов», составленных из букв А, Б, В (под «словом» понимается любая последовательность подряд идущих букв) таких, что в них есть не более трёх букв Б.
Ответ:
Решение:
На урок физкультуры пришли $8$ учеников. Сколькими способами учитель может расставить их в шеренгу так, чтобы Петя стоял левее Васи, а Вася — левее Толи? Между этими троими ребятами могут стоять и другие ученики.
Ответ:
Решение:
Вася придумывает 4-значный пароль для кодового замка. Он не любит цифру 2, поэтому не использует её. Кроме того он не любит, когда две одинаковые цифры стоят рядом. А ещё он хочет, чтобы первая цифра совпадала с последней. Сколько вариантов надо перебрать, чтобы гарантированно угадать Васин пароль?
Ответ:
Решение:
Петя придумывает пароль для своего смартфона. Пароль состоит из 4 десятичных цифр. Петя хочет, чтобы пароль не содержал цифру 7, при этом в пароле должны быть хотя бы две (или более) одинаковые цифры. Сколькими способами Петя может это сделать?
Ответ:
Решение:
В детской игре шарик может двигаться по желобкам, которые являются ребрами квадратов со стороной 1 дм, и которые вместе составляют прямоугольную сеть размера 3 дм на 4 дм (см. рис.). Какова длина кратчайшего пути шарика из точки $A$ в точку $B$? Сколько существует различных путей этой минимальной длины?
Ответ:
Решение:
Сколько существует способов раскрасить вершины правильного пятиугольника в восемь цветов, если раскраски, которые можно совместить поворотом, считаются одинаковыми?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно выложить в ряд три красных, четыре синих и пять зелёных шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом?
Ответ:
Решение:
Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника $ABC$, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины $A$ обратно в вершину $A$ за $9$ прыжков?
Ответ:
Решение:
У Миши есть пять банок с красками разного цвета. Сколькими различными способами он может покрасить забор, состоящий из $7$ досок, так, чтобы любые две соседние доски были разных цветов и при этом он использовал краски не менее чем трёх цветов?
Ответ:
Решение:
У Миши есть четыре банки с красками разного цвета. Сколькими различными способами он может покрасить забор, состоящий из $8$ досок, так, чтобы любые две соседние доски были разных цветов и при этом он использовал краски не менее чем трёх цветов?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами в прямоугольнике $5\times15$ можно разместить две кости домино $1\times2$, каждая из которых покрашена в два цвета — чёрный и белый?
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки: на одной — чёрная часть кости, а на другой — белая.
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки: на одной — чёрная часть кости, а на другой — белая.
Ответ:
Решение:
Сколькими способами в полосе $2\times30$ можно разместить две кости домино $1\times2$?
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки.
Замечание. Каждая кость занимает две соседние клетки.
Ответ:
Решение:
Дана клетчатая прямоугольная доска размером $10\times 12$. За один ход фишку можно передвинуть либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх. Сколькими способами можно переместить фишку из левого нижнего угла доски (клетка с координатами $(1;1)$) в правый верхний угол (клетка с координатами $(10;12)$), если в процессе движения нельзя занимать клетку с координатами $(3;9)$?
Ответ:
Решение:
Сколько есть способов расставить 6 книг в шкафу с 10 полками так, чтобы 4 заданные книги из этих 6 стояли на одной полке рядом друг с другом (в любом порядке), если расстановки, отличающиеся порядком книг на полке, считаются различными?
Ответ:
Решение:
В классе $3$ ряда по $6$ парт в каждом ряду (за партой может сидеть только один ученик). $18$ школьников выбирают себе места: четверо хотят сидеть на первом ряду, по трое хотят занять места на втором и третьем рядах, а остальным безразлично, где сидеть. Сколькими способами можно рассадить школьников за парты с учётом их пожеланий?
Ответ:
Решение:
В турнире у волейбольной команды было $10$ побед и $6$ поражений, причём все её победы были получены тремя «сериями» (серия — это одна или несколько последовательных побед, между которыми не было ни одного поражения). Сколькими способами это могло случиться? Под способом понимается последовательностью побед и поражений. Ничьих в волейболе не бывает.
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно добраться от точки $A$ до точки $B$ по линиям сетки, расположенным внутри или на границе представленной на рисунке фигуры, если разрешено двигаться только вправо или вверх?
Ответ:
Решение:
В некоторой стране алфавит состоит из трёх букв: «М», «Г» и «У». Словом называется любая состоящая из этих букв конечная последовательность, в которой две согласные не могут стоять рядом и две гласные не могут стоять рядом. Сколько в этой стране состоящих из 200 букв слов, которые содержат каждую из трёх букв хотя бы по разу?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно прочитать слово «РОТОР», двигаясь по буквам рисунка, если возвращаться по пути к пройденным буквам нельзя, а прочтения, отличающиеся только направлением, считаются одинаковыми?\[\begin{array}{l}\text{Р О Т О Р}\\\text{О Т О Р}\\\text{Т О Р}\\\text{О Р}\\\text{Р}\end{array}\]
Ответ:
Решение:
Бросается стандартная игральная кость (кубик, от 1 до 6 очков на грани, сумма очков на противоположных гранях равна семи). После броска записываем результат, перекатываем кубик случайным образом на одну из соседних граней, записываем новый результат, потом снова случайно перекатываем кубик на одну из соседних граней, и записываем третий результат. Сколько разных возрастающих последовательностей очков мы можем получить?
Ответ:
Решение: