Готовые варианты контрольных — за минуты

В параболу $y=0{,}5x^2$ вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси $Ox$. Какую наибольшую длину может иметь высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу?

Хорда $AB$ параболы $y=x^2$ пересекает ось ординат в точке $C$ и делится ею в отношении $AC:CB=2:1$. Найти абсциссы точек $A$ и $B$, если ордината точки $C$ равна $8$.

Для испытания новой модели моторного катера выбран участок берега моря, представленный на карте прямой линией. Вдоль этого участка берега проходит прямая трасса, на которой расположен командный пункт. В $2$ км от него в море по линии, перпендикулярной берегу, на рейде стоит корабль. Моторный катер движется в море так, что расстояние от наблюдателя на корабле до катера в любой момент времени совпадает с расстоянием от катера до движущегося по трассе автомобиля наблюдения. При этом в декартовой системе координат с началом в точке $O$ — командном пункте, осью абсцисс, направленной вдоль трассы по ходу движения автомобиля, и осью ординат, направленной на корабль, абсциссы координат автомобиля и катера в каждый момент времени совпадают.
Укажите координаты катера в этой системе координат через четверть часа с момента начала движения автомобиля от командного пункта, если он двигался все время в одном направлении с постоянной скоростью $40$ км/ч.

Вне прямоугольного треугольника $ABC$ на его катетах $AC$ и $BC$ построены квадраты $ACDE$ и $BCFG$. Продолжение медианы $CM$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $DF$ в точке $N$. Найдите длину отрезка $CN$, если длины катетов равны 1 и 4.

На параболе $y=x^2$ даны две точки: $A$ с абсциссой $-3$ и $B$ с абсциссой $5$. Точка $C$ лежит на дуге $AB$. Найдите максимальную возможную площадь треугольника $ABC$.

Даны парабола $y=4x^2$ и прямая $y=x-0{,}5$. Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, две вершины которого лежат на параболе, а две другие — на этой прямой?

По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке $(0;0)$. Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках $M_0\left(-2;-2\sqrt7\right)$ и $N_0\left(5;5\sqrt7\right)$ соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет кратчайшим.

По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке $(0;0)$. Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках $M_0\left(2;2\sqrt7\right)$ и $N_0\left(5;5\sqrt7\right)$ соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет наибольшим.

На столе лежит кусочек сахара, вокруг которого по двум окружностям с одной и той же скоростью ползают муравей и жук. На плоскости стола введена прямоугольная система координат, в которой сахар (общий центр окружностей) находится в точке $O(0;0)$. Муравей двигается по часовой стрелке, а жук — против. В начальный момент времени муравей и жук находятся в точках $M_0\left(-1;\sqrt3\right)$ и $N_0\left(2\sqrt3;2\right)$ соответственно. Определите координаты всех положений жука, в которых расстояние между ним и муравьём будет кратчайшим.

Вокруг цветка в одной плоскости с ним по двум окружностям летают шмель и пчела. Скорость пчелы в полтора раза больше скорости шмеля. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой цветок (общий центр окружностей) находится в точке $O(0;0)$. Пчела двигается по часовой стрелке, а шмель — против. В начальный момент времени пчела и шмель находятся в точках $M_0\left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$ и $N_0(2;0)$ соответственно. Определите координаты всех положений шмеля, в которых расстояние между ним и пчелой будет кратчайшим.

Отрезок $[A;B]$ длины 5 двигается на координатной плоскости так, что его концы лежат на параболе $y=2x^2$. Точка $M$ — середина отрезка $[A;B]$. Найти минимально возможное значение расстояния точки $M$ до оси абсцисс, а также абсциссу точки $M$, при которой оно достигается.

Гипотенуза $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $3$ и $4$ является стороной расположенного во вне прямоугольника $ABDE$, вторая сторона которого равна $2$. Биссектриса прямого угла треугольника $ABC$ пересекает сторону $DE$ в точке $M$. В каком отношении точка $M$ делит отрезок $DE$?

Найдите координаты всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от всех точек пересечения парабол, заданных в декартовой системе координат на плоскости уравнениями $y=2x^2-1$ и $x=4y^2-2$.

Точка $A$ на плоскости находится на одинаковом расстоянии от всех точек пересечения двух парабол, заданных в декартовой системе координат на плоскости уравнениями $y=-3x^2+2$ и $x=-4y^2+2$. Найдите это расстояние.

Гипербола $y=5/x$ пересекается с прямой $2x+y=12$ в точках $A$ и $B$, а с прямой $x+2y=8$ — в точках $C$ и $D$. Найдите координаты точки, равноудалённой от точек $A$, $B$ и $C$.

Найдите наименьшую длину отрезка $AB$, если точка $A$ принадлежит множеству, задаваемому уравнением $y^2-3x^2-2xy-9-12x=0$, а точка $B$ — множеству, задаваемому уравнением $x^2-8y+23+6x+y^2=0$.

Для производственного процесса необходимо изготовить лекало из металлической пластины-заготовки, которая имеет форму прямоугольной трапеции. В заготовке имеется технологическое отверстие, которое можно принять за точку, расположенную в 2 см от меньшей боковой стороны, имеющей длину 4,5 см, и в 0,5 см от большего основания трапеции. Длины оснований трапеции равны 1,5 см и 6 см. Требуется провести на пластине кривую линию разреза так, чтобы расстояние от любой точки этой линии до большего основания трапеции было бы равно расстоянию от этой точки до технологического отверстия. Определите, в каком отношении линия разреза делит каждую из боковых сторон пластины.

За время освоения космического пространства на различных орбитах скопились сотни тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства может быть существенно осложнено возрастающей угрозой столкновения с этим мусором. Согласно результатам исследований удаление $3-5$ крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.
Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите c большой полуосью, равной 9000 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Пусть уравнение траектории движения обломка задано следующим образом: $81x^2+65(y-4)^2=5265$. На некотором удалении от указанной орбиты находится космическая научная станция, уравнение движения которой $36x^2+20(y-4)^2=720$. С нее стартует летательный аппарат, который движется по переходной эллиптической траектории: $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{(y-y_0)^2}{z^2}=1$. Он должен совершить манёвр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.
Известно, что скорость движения по эллиптической орбите вида $\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{(y-c)^2}{a^2}=1$, $a\geqslant b$, $c=\sqrt{a^2-b^2}$, с большой полуосью, равной $a$, вычисляется по формуле \[ V=\sqrt{\mu\left(\frac2r-\frac1a\right)}, \] $\mu\approx3{,}9\cdot10^5$ км$^3$/с$^2$ — гравитационный потенциал Земли, $r$ — расстояние от начала координат, расположенного в одном из фокусов эллипса, до движущейся точки.
Найдите максимальную скорость движения осколков космического мусора на указанной орбите. Определите параметры $z$, $y_0$, если известно, что переходная траектория должна проходить через точку, в которой скорость движения обломков максимальна и проходить через точку орбиты научной станции, в которой скорость движения станции минимальна. Выпишите уравнение переходной орбиты.

За время освоения космического пространства на различных орбитах скопилось по данным NASA около 300 тысяч объектов космического мусора. Дальнейшее использование космического пространства в ближайшем будущем может быть существенно осложнено всё возрастающей угрозой столкновения с космическим мусором. Согласно результатам исследований, удаление $3-5$ крупных объектов в год с низких околоземных орбит позволяет предотвратить цепную реакцию роста объектов космического мусора в будущем. На данный момент работающей технологией по утилизации космического мусора является увод старых спутников. Это можно сделать с помощью аппаратов-захватчиков, которые буксируют мусор на орбиты для захоронения.
Рассмотрим плоскость орбиты захоронения. Пусть крупный фрагмент мусора движется в этой плоскости по эллиптической орбите c большой полуосью равной 5000 км, малой — 2500 км. (Для удобства вычислений все расчеты будем производить в тысячах километров.) Введем систему координат с началом отсчета в центре рассматриваемого эллипса, с осью абсцисс, направленной вдоль большой полуоси. Тогда уравнение траектории движения обломка запишется следующим образом: $x^2+4y^2=25$.
На некотором удалении по оси абсцисс находится межпланетная научная станция $S$. С нее стартует летательный аппарат-захватчик, который движется по параболической траектории: $(y+1)^2=-9\cdot(x-7)/4$. Он должен совершить манёвр по переходу с одной орбиты на другую и плавно подойти к обломку для изменения его скорости и направления движения.
Определите координаты точки касания указанных траекторий и угол, который образует с положительным направлением оси абсцисс касательная к параболической траектории в начальный момент времени в точке $S$.

Какую наименьшую длину может иметь отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит кривой \[ 5x^2+5y^2-10x-20y+24=0, \] а точка $B$ — одному из графиков семейства функций \[ y=\left(k^2+2k+3\right)|x-3|, \] $k\in\mathbb{R}$? В ответ запишите сумму квадрата найденной наименьшей длины и значения $k$, при котором эта длина достигается.