Первоначальное знакомство с векторами на плоскости. Сложение векторов, умножение вектора на число.
В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=1:3$. Выразить вектор $\overline{CK}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=2:3$. Выразить вектор $\overline{BK}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на медиане $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=3:2$. Выразить вектор $\overline{CK}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=3:2$. Выразить вектор $\overline{KC}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=1:2$. Выразить вектор $\overline{KB}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=1:3$. Выразить вектор $\overline{KC}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на биссектрисе $AM$ взята точка $K$ так, что $AK:KM=2:3$. Выразить вектор $\overline{KB}$ через векторы $\vec a=\overline{AB}$ и $\vec b=\overline{AC}$.
Ответ:
Решение:
Даны точки $A(-2;~1)$, $B(2;~5)$ и $C(4;~-1)$. Точка $D$ лежит на продолжении медианы $AM$ за точку $M$, причём четырёхугольник $ABDC$ — параллелограмм. Найдите координаты точки $D$.
Ответ:
Решение:
Даны точки $A(-6;~-1)$, $B(1;~2)$ и $C(-3;~-2)$. Найдите координаты вершины $M$ параллелограмма $ABMC$.
Ответ:
Решение:
Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Известно, что $\overline{BC}=\overline{a}$, $\overline{DC}=\overline{b}$. Найдите векторы $\overline{AE}$, $\overline{FC}$, $\overline{BF}$, $\overline{AC}$ и $\overline{MK}$, где $M$ — середина стороны $BC$, а точка $K$ расположена на стороне $EF$, причём $FK:KE=1:2$.
Ответ:
Решение:
Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром $O$. Известно, что $\overline{BO}=\overline{a}$, $\overline{DE}=\overline{b}$. Найдите векторы $\overline{BF}$, $\overline{DB}$, $\overline{FD}$, $\overline{AD}$ и $\overline{MK}$, где $M$ — середина стороны $BC$, а точка $K$ расположена на стороне $EF$, причём $FK:KE=1:2$.
Ответ:
Решение:
Дан правильный шестиугольник $ABCDEF$. Известно, что $\overline{AB}=\overline{a}$, $\overline{AF}=\overline{b}$. Найдите векторы $\overline{AD}$, $\overline{BD}$, $\overline{FD}$ и $\overline{BM}$, где $M$ — середина стороны $EF$.
Ответ:
Решение:
Пусть точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$ — середины сторон соответственно $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$. Докажите, что для любой точки $O$ выполняется равенство $\overline{OA_{1}}+\overline{OB_{1}}+\overline{OC_{1}}=\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ расположены точки $M$ и $N$ так, что $AM=CN=\sqrt{3}$. Точка $P$ — середина отрезка $MN$, точка $Q$ — середина стороны $AC$. Угол при вершине $B$ треугольника $ABC$ равен $60^\circ$. Найти длину отрезка $PQ$.
Ответ:
Решение:
На стене висят двое одинаковых часов, длина минутных стрелок которых равна $\sqrt{2}$, а центры крепления их минутных стрелок удалены друг от друга на расстояние $d=5$. Известно, что одни часы отстают на 15 мин, а другие идут точно. Найти наибольшее и наименьшее расстояние между концами минутных стрелок, наблюдаемое в течение одного часа.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Найдите длину стороны $AC$, если известно, что сумма векторов $3\cdot\overrightarrow{AA_1}+4\cdot\overrightarrow{BB_1}+5\cdot\overrightarrow{CC_1}$ равна вектору с координатами $(2,1)$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$. Точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DE$ соответственно, точки $H$ и $K$ — середины $MP$ и $NQ$ соответственно. Найдите длину отрезка $HK$, если $AE=7$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с отношением сторон $AB:AC=5:4$ биссектриса угла $BAC$ пересекает сторону $BC$ в точке $L$. Найдите длину отрезка $AL$, если длина вектора $4\cdot\overrightarrow{AB}+5\cdot\overrightarrow{AC}$ равна $2016$.
Ответ:
Решение:
$A_1A_2\ldots A_{2015}$ — правильный 2015-угольник. $O$ — его центр. Найдите сумму векторов \[ \overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\ldots+\overrightarrow{OA_{2015}}. \] Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
Пусть $L$ — точка пересечения диагоналей $CE$ и $DF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $3$. Точка $K$ такова, что $\overrightarrow{LK}=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Определите, лежит ли точка $K$ внутри, на границе или вне $ABCDEF$, а также найдите длину отрезка $KC$.
Ответ:
Решение: