Рассмотрим уравнение $\sin^3 x+\cos^3 x=-1$. Сколько у него решений на промежутке $[0, 6\pi]$?
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \left|\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right|=-\sqrt2\cos y,\\ \cos2y+2\sin2x+\dfrac34=2\sin^32x. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение $|x-y|$ при условии \[ \left(\cos^4 x+1\right)\left(4\cos^4 y+1\right)=8\cos^3 x\cos^2 y,\quad x\in[\pi;2\pi],\quad y\in\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]. \]
Ответ:
Решение:
Найдите сумму первых ста положительных корней уравнения \[ \cos(8\pi x)+2\cos(4\pi x)-\cos(2\pi x)+2\sin(\pi x)+3=0. \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[\begin{cases}4\cos^2x+\cos^25y=4\cos x\cos^65y,\\ \lg(x-y)^2\lt 2\lg(2\pi)-\lg5-\lg45.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
При каком значении $a$ уравнение $|\sin(2x-y)|+|\cos(x+2y)|+1=\frac{2a}{a^2+1}$ имеет решение? Найти эти решения. Найти минимальное $R$, при котором любой круг радиуса $R$ на плоскости содержит хотя бы одну точку с координатами $(x;y)$ — решениями уравнения.
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\left(\sqrt3\cos 2x+\sin 2x\right)^2=7+3\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right).\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \dfrac{2\operatorname{tg}^4 6x+4\sin4x\sin8x-\cos8x-\cos16x+2}{\sqrt{\cos x-\sqrt3\sin x}}=0. \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4\cos^2 2x\cdot\sin^2\dfrac x3+4\sin\dfrac x3-4\sin^2 2x\cdot\sin\dfrac x3+1=0,\\ \sin\dfrac x2+\sqrt{\cos y}=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} \mathrm{tg}^2\,\pi(x-y)+\mathrm{ctg}^2\,\pi(x-y)=\sqrt{\dfrac{2x}{x^2+1}}+1, \\ x^2+y^2\leqslant 10. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 2\sin x+\sin^2 y-\sin^2 x\cos^2 y=1, \\ 2\cos^2 x+4\sin x-\cos^3 y=5. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Определите минимальное значение величины $|x+y|$ при условии, что числа $x$ и $y$ удовлетворяют соотношению \[ 5\cos(x+4y)-3\cos(x-4y)-4\sin(x-4y)=10. \]
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[\sin^2\left(\frac{2013x}{2}\right)\cdot\cos^2(2014x)\cdot\sin^2\left(\frac{2015x}{2}\right)=1.\]
Ответ:
Решение:
Найдите все пары чисел $(x;y)$ в прямоугольнике $0\leqslant x\leqslant 2\pi$, $0\leqslant y\leqslant 1$, для которых \[ \left(\cos^4 x+1\right)\left(\cos^4(xy)+1\right)=4\cos^2 x\cos^2(xy). \]
Ответ:
Решение:
Найти все решения $(x;y)$ уравнения $(2\sin(x+y)+3)(\cos(2x-y)-1)=-10$, лежащие на прямой $6x+5y=15\pi$.
Ответ:
Решение: