Найдите наибольшее значение функции \[ f(x)=\sin(x+\sin x)+\sin(x-\sin x)+\Bigl(\dfrac{\pi}{2}-2\Bigr)\sin\sin x. \]
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки $M$, наименее удаленной от начала координат и лежащей на параболе $y=x^2-4x+3{,}5$.
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее расстояние может быть между двумя точками, одна из которых лежит на графике функции $y=x^2$, другая — на кривой, заданной уравнением \[ 4x^2+4y^2-48x-24y+163=0. \] В ответ запишите квадрат найденного расстояния.
Ответ:
Решение:
На произвольной параболе даны точки $A$ и $B$. Точка $C$ выбрана на дуге параболы между $A$ и $B$, так, что треугольник $ABC$ имеет максимальную площадь. Прямая, проходящая через точку $C$ параллельно оси симметрии параболы, пересекает отрезок $AB$ в точке $M$. Найдите отношение $AM:MB$.
Ответ:
Решение:
Как устроить полустанок? (старинная задача) В стороне от прямолинейного участка железнодорожного пути, в 20 км от него, лежит селение В. Где надо устроить полустанок С, чтобы суммарно проезд от А до В по железной дороге АС и по шоссе СВ отнимал возможно меньше времени? Скорость движения по железной дороге 0,8, а по шоссе 0,2 км в минуту.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Вычислить предел: $$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + x + 3} - \sqrt{x^2 - x + 7}}{x^2 - 5x + 6}$$
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=\cos \pi x$ на отрезке $\displaystyle -\frac12\leqslant x\leqslant\frac12$.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции $\displaystyle y=\frac{4}{x}$ и $y=-x^2+4x+1$. Сделать чертёж.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^2+4x+3$ и $y=5-|x+2|$. Сделать чертёж.
Ответ:
Решение: