Найдите все перестановки $(a_1, a_2, \ldots, a_{2021})$ чисел 1, 2, $\ldots$, 2021 такие, что при любых натуральных $m$, $n$, удовлетворяющих условию $|m-n|\gt 20^{21}$, выполняется неравенство: \[ \sum_{i=1}^{2021}\text{НОД}(m+i, n+a_i)\lt 2|m-n|. \] (Перестановка $(a_1, a_2, \ldots, a_{2021})$ — это последовательность, в которой каждое из чисел 1, 2, $\ldots$, 2021 встречается ровно по одному разу.)
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $n$, для которых существует такое чётное натуральное $a$, что число \[ (a-1)(a^2-1)\ldots(a^n-1) \] является точным квадратом.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. Множество $A$, составленное из натуральных чисел, таково, что для любого натурального числа $m$, не превосходящего $n$, во множестве $A$ есть число, делящееся на $m$. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех элементов множества $A$?
Ответ:
Решение:
В строку выписано 1999 натуральных чисел. Во вторую строку под каждыми двумя соседними числами выписали их наибольший общий делитель. Аналогичным образом получили третью, четвёртую и т. д. строки. Может ли 1000-я строка состоять из 1000 последовательных чисел в некотором порядке?
Ответ:
Решение: