Маша и Оля купили в магазине много одинаковых ручек для нового учебного года. Известно, что одна ручка стоит целое число рублей, большее 10. Маша купила ручек ровно на 357 рублей, а Оля — ровно на 441 рубль. Сколько суммарно ручек они купили?
Ответ:
Решение:
Отец и сын несут одинаковые банки консервов. Масса каждой банки выражается целым числом граммов, не меньшим чем 300, но не большим чем 400. Отец несёт 6 кг 500 г, а сын — 2 кг 600 г. Сколько банок у отца и сколько у сына?
Ответ:
Решение:
Расстояние между городами А и Б составляет целое число километров. На дороге между городами каждый километр стоит табличка: на одной стороне написано расстояние до города А, на другой — до города Б. Слава шёл пешком из города А в город Б. В течение своего путешествия Слава посчитал для каждой таблички НОД чисел, написанных на ней. Оказалось, что среди посчитанных НОДов встречаются только числа 1, 3 и 13. Чему равняется расстояние между городами?
Ответ:
Решение:
Ваня загадал два натуральных числа, произведение которых равняется 7200. Какое наибольшее значение может принимать НОД этих чисел?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[\text{НОД}(a,b)=2\quad\text{и}\quad\text{НОД}(b,c)=4.\] Чему может быть равен НОД$(a,c)$? Выберите все верные ответы:
a) 12;
b) 3;
c) 6;
d) 1;
e) 2.
a) 12;
b) 3;
c) 6;
d) 1;
e) 2.
Ответ:
Решение:
Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать НОД (наибольший общий делитель) этих чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите все такие пары натуральных чисел $a$ и $b$, что \[\text{НОК}(a,b)=\text{НОД}(a,b)+19\] (и докажите, что других нет).
$\text{НОД}(a,b)$ — это наибольший общий делитель, то есть наибольшее натуральное число, делящее и $a$, и $b$. $\text{НОК}(a,b)$ — это наименьшее общее кратное, то есть наименьшее натуральное число, кратное и $a$, и $b$.
$\text{НОД}(a,b)$ — это наибольший общий делитель, то есть наибольшее натуральное число, делящее и $a$, и $b$. $\text{НОК}(a,b)$ — это наименьшее общее кратное, то есть наименьшее натуральное число, кратное и $a$, и $b$.
Ответ:
Решение:
Найдите все такие пары натуральных чисел $a$ и $b$, что \[\text{НОД}(a,b)+\text{НОК}(a,b)=ab/2.\]
Ответ:
Решение:
Пусть $N$ — наименьшее общее кратное десяти различных натуральных чисел \[a_1\lt a_2\lt a_3\lt \ldots\lt a_{10}.\]
1. Какое наименьшее значение может принимать $N/a_3$?
2. Укажите все возможные значения $a_3$ на отрезке $[1;1000]$, для которых величина $N/a_1$ может принимать своё наименьшее значение.
1. Какое наименьшее значение может принимать $N/a_3$?
2. Укажите все возможные значения $a_3$ на отрезке $[1;1000]$, для которых величина $N/a_1$ может принимать своё наименьшее значение.
Ответ:
Решение:
Для натурального числа $n$ обозначим через $S_n$ наименьшее общее кратное всех чисел $1, 2, \ldots, n$. Существует ли такое натуральное число $m$, что $S_{m+1}=4S_m$?
Ответ:
Решение:
В ряд выписали дроби $\dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \ldots, \dfrac{1}{1000}$. Затем все эти дроби привели к общему знаменателю. У скольких из получившихся дробей числитель не делится на $77^2$?
Ответ:
Решение:
По окружности красным карандашом записали 49 различных натуральных чисел, меньших 100. Между каждыми двумя соседними красными числами записали синим их наибольший общий делитель. Могло ли случиться, что все синие числа различны?
Ответ:
Решение:
У Васи есть банки с синей, жёлтой и зелёной красками. Он хочет покрасить каждое натуральное число от 100 до 1 000 000 включительно одной из этих красок так, чтобы каждые три попарно взаимно простых числа были одного цвета. Докажите, что Васе придётся покрасить все числа одним цветом. Напомним, что три числа попарно взаимно просты, если у каждых двух из них наибольший общий делитель равен 1.
Ответ:
Решение:
Известно, что клетчатый квадрат можно разрезать на $n$ одинаковых фигурок из $k$ клеток. Докажите, что его можно разрезать и на $k$ одинаковых фигурок из $n$ клеток.
Ответ:
Решение:
Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016?
Ответ:
Решение:
Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. Натуральные числа $1, 2, \ldots, n$ выписывают на доске в строчку в некотором порядке. У каждых двух стоящих рядом чисел вычисляют их НОД (наибольший общий делитель) и записывают этот НОД на листке. Какое наибольшее количество различных чисел может быть среди всех $n-1$ выписанных на листке чисел?
Ответ:
Решение:
Саша выбрал натуральное число $N\gt 1$ и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители: $d_1\lt \ldots\lt d_s$ (так что $d_1=1$ и $d_s=N$). Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных $s-1$ чисел оказалась равной $N-2$. Какие значения могло принимать $N$?
Ответ:
Решение:
Найдите все наборы натуральных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{20}$ такие, что \[ x_{i+2}^2=\text{НОК}(x_{i+1},x_i)+\text{НОК}(x_i,x_{i-1}) \] при $i=1, 2, \ldots, 20$, где $x_0=x_{20}$, $x_{21}=x_1$, $x_{22}=x_2$.
Ответ:
Решение:
Витя записал в тетрадь $n$ различных натуральных чисел. Для каждой пары чисел из тетради он выписал на доску их наименьшее общее кратное. Могло ли при каком-то $n\gt 100$ случиться так, что $\dfrac{n(n-1)}{2}$ чисел на доске являются (в некотором порядке) последовательными членами непостоянной арифметической прогрессии?
Ответ:
Решение: