В окружность $\Omega$ радиуса 10 вписаны трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) и прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$ таким образом, что $AC\parallel B_1D_1$, $BD\parallel A_1C_1$. Найдите отношение площадей $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AD=16$, $BC=12$.
Ответ:
Решение:
В окружность $\Omega$ радиуса 13 вписаны трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) и прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$ таким образом, что $AC\perp B_1D_1$, $BD\perp A_1C_1$. Найдите отношение площади $ABCD$ к площади $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AD=10$, $BC=24$.
Ответ:
Решение:
Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, пересекаются в точке $P$. Известно, что расстояния от точки $P$ до сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ равны $4$, $\sqrt3$, $\frac{8}{\sqrt{19}}$ и $8\sqrt{\frac{3}{19}}$ соответственно (основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на стороны, лежат на этих сторонах).
а) Найдите отношение $AP:PC$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если дополнительно известно, что $AC=10$.
а) Найдите отношение $AP:PC$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если дополнительно известно, что $AC=10$.
Ответ:
Решение:
В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность. Длины её боковых сторон $AB$ и $CD$ равны соответственно $3$ и $5$, а длина основания $AD$ больше длины $BC$. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно $5/11$. Найдите радиус вписанной в трапецию окружности и длины её диагоналей.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ лежит на описанной около правильного треугольника $ABC$ окружности и не совпадает с его вершинами. Докажите, что сумма расстояний от точки $M$ до прилегающих вершин треугольника равна расстоянию от точки $M$ до третьей его вершины: $AM+CM=BM$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=2$, $BC=4$, $CD=5$ вписали окружность и вокруг него описали окружность. Найдите площадь четырёхугольника.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность с центром $O$, при этом $\angle AOB=75^\circ$, $AB=3$. Найдите площадь круга, ограниченного описанной вокруг треугольника $ABE$ окружностью, где $E$ — точка пересечения прямых $AD$ и $BC$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Найдите величину угла $ACB$, если известно, что $\angle ACD=72^\circ$ и $AB=BD$.
Ответ:
Решение:
В окружность вписан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $E$. Прямая, проходящая через точку $E$ перпендикулярно прямой $AB$, пересекает сторону $CD$ в точке $M$.
а) Докажите, что $EM$ — медиана треугольника $CED$.
б) Найдите $EM$, если $AD = 8$, $AB = 4$ и угол $\angle CDB$ равен $60^{\circ}$.
а) Докажите, что $EM$ — медиана треугольника $CED$.
б) Найдите $EM$, если $AD = 8$, $AB = 4$ и угол $\angle CDB$ равен $60^{\circ}$.
Ответ:
Решение:
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $CD$ равны. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AC\cdot CK=BC^{2}$.
б) Найдите площадь этого четырёхугольника, если известно, что $AC=8$ и $\angle BAD=150^{\circ}$.
а) Докажите, что $AC\cdot CK=BC^{2}$.
б) Найдите площадь этого четырёхугольника, если известно, что $AC=8$ и $\angle BAD=150^{\circ}$.
Ответ:
Решение: