Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а боковые стороны образуют угол $30^\circ$. Основания имеют длины $6$ и $2$. Найдите высоту трапеции.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ такова, что $AC=BC+AD$, а один из углов между прямыми $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$. Докажите, что $ABCD$ — равнобокая трапеция.
Ответ:
Решение:
В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD\gt BC$) боковая сторона равна $20$ см, угол $BAC$ равен $45^\circ$. Пусть $O$ — центр окружности, описанной вокруг $ABCD$. Оказалось, что прямые $OD$ и $AB$ перпендикулярны. Найдите длину основания $AD$ трапеции.
Ответ:
Решение:
В трапецию $ABCD$ вписана окружность, касающаяся боковой стороны $AD$ в точке $K$. Найдите площадь трапеции, если $AK=16$, $DK=4$ и $CD=6$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$. Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно, причём отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции. Диагональ $AC$ пересекает этот отрезок в точке $O$. Найдите $MN$, если известно, что площади треугольников $AMO$ и $CNO$ равны.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше чем $60^\circ$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ точки $K$, $N$, $M$ принадлежат отрезку $BC$, $BK=KN=MC=1$, а точки $L$, $O$, $P$, $Q$ принадлежат отрезку $AD$, $AL=LO=PO=QP=QD=3$. Прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Точка $K$ соединена с точками $A$, $L$, $O$, $P$, $Q$, $D$. Точка $L$ соединена с точками $B$, $K$, $N$, $M$, $C$. Докажите, что точки пересечения прямых $BL$ и $AK$, $KO$ и $LN$, $KQ$ и $LC$ лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 12 см, а длины биссектрис — 15 см и 13 см.
Ответ:
Решение:
Площадь трапеции равна 24. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, если диагонали трапеции равны 6 и 10.
Ответ:
Решение:
В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) окружность касается основания $BC$, боковых сторон $AB$ и $CD$ и проходит через точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Найти радиус окружности, если $AD:BC=9:7$, а площадь трапеции $S=8$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ и площадью, равной 2, прямые $BC$ и $AD$ касаются окружности диаметром $\sqrt{2}$ в точках $B$ и $D$ соответственно. Боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ пересекают окружность в точках $M$ и $N$ соответственно. Длина $MN$ равна 1. Найти величину угла $MBN$ и длину основания $AD$.
Ответ:
Решение:
Высота равнобедренной трапеции $ABCD$ равна 16, а её диагонали пересекаются в точке $O$. Окружность радиуса 3 с центром в точке $O$ касается меньшего основания $BC$ и боковой стороны $CD$ трапеции. Найти основания трапеции.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны $a$ и $b$ соответственно, угол $BCD$ равен $\alpha$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $D$, касается прямой $AB$. Найти радиус этой окружности.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $K$. Точки $P$ и $Q$ — центры описанных окружностей треугольников $ABD$ и $BCD$. Докажите, что $\angle PKA=\angle QKD$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) угол $A$ равен $60^\circ$. На стороне $CD$ выбирается точка $K$ так, что $\angle BKC=30^\circ$, при этом $AD=CD$. Прямая $BN$ пересекает сторону $CD$ в точке $N$, а отрезки $AK$ и $BN$ пересекаются в точке $P$. Найдите величину угла $DPB$ в градусах, если $KN:ND=2\sin\angle BDC$.
Ответ:
Решение:
На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $E$ и $F$ такие, что $AF=AC$ и $BE=BC$. Найдите угол $ECF$.
Ответ:
Решение:
Треугольник $XYZ$ равнобедренный ($\angle XYZ=\angle XZY=35^\circ$). Внутри угла $XYZ$, но вне треугольника $XYZ$ взята точка $P$ так, что $\angle XPY=22^\circ$, а $\angle ZPY=55^\circ$. Найдите $\angle PYX$. Ответ дайте в градусах.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ и $\angle ABC=\frac{\pi}{9}$ на стороне $AB$ выбрана точка $D$ так, что $BD=AC$. Найдите величину угла $DCB$ (в радианах) и сравните её с $0{,}18$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на продолжении медианы $CM$ за точку $C$ отметили точку $K$ так, что $AM=CK$. Известно, что угол $BMC$ равен $60^\circ$. Докажите, что $AC=BK$.
Ответ:
Решение:
Дан равнобедренный треугольник $KLM$ ($KL=LM$) с углом при вершине, равным $114^\circ$. Точка $O$ расположена внутри треугольника $KLM$ так, что $\angle OMK=30^\circ$, а $\angle OKM=27^\circ$. Найдите величину угла $\angle LOM$.
Ответ:
Решение: