Признаки подобия. Обобщённая теорема Фалеса. Теорема Чевы. Теорема Менелая.
В треугольнике $ABC$ сторона $AB=12$, высота $CH=8$. В треугольник вписан прямоугольник так, что одна его сторона лежит на стороне $AB$, а две вершины — на сторонах $AC$ и $BC$. Найти стороны прямоугольника, если его периметр равен 20.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AB=12$, высота $CH=8$. В треугольник вписан прямоугольник так, что одна его сторона лежит на стороне $AB$, а две вершины — на сторонах $AC$ и $BC$. Найти стороны прямоугольника, если его периметр равен 19.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ сторона $AB=12$, высота $CH=8$. В треугольник вписан прямоугольник так, что одна его сторона лежит на стороне $AB$, а две вершины — на сторонах $AC$ и $BC$. Найти стороны прямоугольника, если его периметр равен 17.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Найти стороны треугольника, подобного данному, если его площадь равна 12.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=10$, $BC=14$ и $AC=20$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$, пересекающиеся в точке $O$. Найти отношение $AO:OK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=12$, $BC=8$ и $AC=10$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$, пересекающиеся в точке $O$. Найти отношение $AO:OK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=14$, $BC=12$ и $AC=8$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$, пересекающиеся в точке $O$. Найти отношение $AO:OK$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=9$, $BC=5$ и $AC=11$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$, пересекающиеся в точке $O$. Найти отношение $AO:OK$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AD$ взята точка $M$ так, что $AM:MD=1:3$. Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC=12$ параллелограмма $ABCD$ в точке $O$. Найти $AO$ и $OC$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AD$ взята точка $M$ так, что $AM:MD=3:1$. Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC=28$ параллелограмма $ABCD$ в точке $O$. Найти $AO$ и $OC$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AD$ взята точка $M$ так, что $AM:MD=2:3$. Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC=15$ параллелограмма $ABCD$ в точке $O$. Найти $AO$ и $OC$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ на стороне $AD$ взята точка $M$ так, что $AM:MD=2:1$. Отрезок $BM$ пересекает диагональ $AC=12$ параллелограмма $ABCD$ в точке $O$. Найти $AO$ и $OC$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основания $AD=5$ и $BC=2$, диагональ $AC=14$.
а) Найти $AO$ и $OC$.
б) Найти площадь треугольника $AOD$, если площадь треугольника $BOC$ равна $3{,}6$.
а) Найти $AO$ и $OC$.
б) Найти площадь треугольника $AOD$, если площадь треугольника $BOC$ равна $3{,}6$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основания $AD=6$ и $BC=2$, диагональ $AC=12$.
а) Найти $AO$ и $OC$.
б) Найти площадь треугольника $AOD$, если площадь треугольника $BOC$ равна $2{,}6$.
а) Найти $AO$ и $OC$.
б) Найти площадь треугольника $AOD$, если площадь треугольника $BOC$ равна $2{,}6$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основания $AD=4$ и $BC=2$, диагональ $AC=12$.
а) Найти $AO$ и $OC$.
б) Найти площадь треугольника $AOD$, если площадь треугольника $BOC$ равна $3{,}4$.
а) Найти $AO$ и $OC$.
б) Найти площадь треугольника $AOD$, если площадь треугольника $BOC$ равна $3{,}4$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основания $AD=5$ и $BC=3$, диагональ $AC=12$.
а) Найти $AO$ и $OC$.
б) Найти площадь треугольника $AOD$, если площадь треугольника $BOC$ равна $5{,}5$.
а) Найти $AO$ и $OC$.
б) Найти площадь треугольника $AOD$, если площадь треугольника $BOC$ равна $5{,}5$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$. Прямые $B_{1}C_{1}$ и $BC$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что треугольники $PBC_{1}$ и $PB_{1}C$ подобны.
б) Найдите расстояние от вершины $A$ до точки пересечения высот треугольника $ABC$, если $BP=BB_{1}$, $\angle ABC=80^{\circ}$, $BC=2\sqrt{3}$, а точка $B$ лежит между $C$ и $P$.
а) Докажите, что треугольники $PBC_{1}$ и $PB_{1}C$ подобны.
б) Найдите расстояние от вершины $A$ до точки пересечения высот треугольника $ABC$, если $BP=BB_{1}$, $\angle ABC=80^{\circ}$, $BC=2\sqrt{3}$, а точка $B$ лежит между $C$ и $P$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $CD$ — высота. Найдите длину радиуса окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если длины радиусов окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $BCD$, равны 6 и 8 соответственно.
Ответ:
Решение:
$AH$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). Точка $M$ — середина стороны $AB$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MK$ на сторону $AC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AH=MK$ и $AK=5$.
Ответ:
Решение:
Основание $AD$ параллелограмма $ABCD$ разбито точками $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_9$ на десять равных частей. Прямые $BM_1$, $BM_2$, $\ldots$, $BM_9$ пересекают диагональ $AC$ в точках $N_1$, $N_2$, $\ldots$, $N_9$ соответственно. Найти длину седьмого по счету от вершины $A$ отрезка разбиения диагонали этими точками, если длина диагонали равна $136$.
Ответ:
Решение: