Признаки подобия. Обобщённая теорема Фалеса. Теорема Чевы. Теорема Менелая.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведена высота $CK$. Периметр треугольника $ABC$ равен 13, а периметр треугольника $BCK$ равен 5. Найдите периметр треугольника $ACK$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CL$. Известно, что $LK=12$ и $\angle ABC=60^\circ$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписаны два равных прямоугольника $PQRS$ и $P_1Q_1R_1S_1$ (при этом точки $P$ и $P_1$ лежат на стороне $AB$, точки $Q$ и $Q_1$ лежат на стороне $BC$, а точки $R$, $S$, $R_1$ и $S_1$ — на стороне $AC$). Известно, что $PS=12$, $P_1S_1=3$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки $D$ и $E$ соответственно, а отрезки $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. Пусть $G$ — такая точка на отрезке $AC$, что прямая $BG$ делит $CF$ пополам. Известно, что $BE=EF=5$, $CD=DF=10$, $AG=18$. Найдите $AE$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $BM=MN=NC$. Прямая, параллельная $AN$ и проходящая через точку $M$, пересекает продолжение стороны $AC$ за точку $A$ в такой точке $D$, что $AB=CD$. Найдите $AB$, если $BC=6$, $\cos(2\angle CDM)=-\dfrac{3}{4}$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ расположена на стороне $CD$ прямоугольника $ABCD$ так, что $CM:MD=1:2$. На отрезке $AM$ выбрана точка $N$ так, что $AN:NM=3:1$. Прямая $DN$ пересекает отрезок $MB$ в точке $P$. Найти отношение $MP:PB$.
Ответ:
Решение:
Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $D$ и делящая площадь треугольника в отношении $1:7$. Другая прямая, параллельная $AD$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно и делит площадь треугольника $ABC$ пополам. В каком отношении точки $M$ и $N$ делят стороны $AB$ и $BC$?
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Описанная окружность треугольника $AOC$ вторично пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Оказалось, что прямая $EF$ делит площадь треугольника $ABC$ пополам. Найдите угол $B$.
Ответ:
Решение:
Найдите промежуток изменения коэффициента подобия треугольников с длинами сторон $x$, $y$, $z$ и $y$, $z$, $p$. В ответе укажите ближайшие друг к другу целые числа, между которыми находится найденный промежуток.
Ответ:
Решение:
Через точку $O$ пересечения биссектрис треугольника $ABC$, провели прямую $KM$ параллельно стороне $AC$ ($K$ лежит на $AB$, $M$ лежит на $BC$). Найдите длину отрезка $KM$, если площадь четырёхугольника $AKMC$ составляет $11/36$ площади треугольника $ABC$, а разность периметров треугольников $ABC$ и $KBM$ равна 18.
Ответ:
Решение:
Через середину гипотенузы $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ проведена прямая, пересекающая катет $BC$ в точке $D$, а продолжение катета $AB$ за точку $A$ — в точке $E$. Найти площадь треугольника $ABC$, если $CD=1$, $AE=2$, $\angle CAB=\arccos\frac35$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $B=60^\circ$, а точки $D$, $E$ и $F$ лежат на сторонах $CA$, $AB$ и $BC$ соответственно, причём $BE=ED=DF=FB=10$. Отрезки $AF$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Найдите длину $XA$, если $XF=4$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AD$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ выбраны точки $F$ и $E$ соответственно таким образом, что $AF/FD=BE/EC=AB/CD$. Продолжение отрезка $EF$ за точку $F$ пересекает прямую $AB$ в точке $P$, а прямую $CD$ — в точке $Q$. Докажите, что $\angle BPE=\angle CQE$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $O$, что $\angle ABO=\angle CAO$, $\angle BAO=\angle BCO$, $\angle BOC=90^\circ$. Найдите отношение $AC:OC$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, $X$ — середина диагонали $AC$. Оказалось, что $CD\parallel BX$. Найдите $AD$, если известно, что $BX=3$, $BC=7$, $CD=6$.
Ответ:
Решение:
Через вершину $A$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $\ell$, как изображено на рисунке. Из точек $B$ и $D$ опущены перпендикуляры $BX$ и $DY$ на прямую $\ell$. Найдите длину отрезка $XY$, если известно, что $BX=4$, $DY=10$, $BC=2AB$.
Ответ:
Решение:
Вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ соединили отрезками с серединами сторон $BC$ и $CD$. Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол $BAD$: острым, прямым или тупым.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $120^\circ$, $AB=2BC$. Серединный перпендикуляр к стороне $AB$ пересекает $AC$ в точке $D$. Найдите отношение $AD:DC$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Прямая, параллельная $AC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $T$ соответственно, а медиану $AM$ — в точке $Q$. Известно, что $PQ=3$, а $QT=5$. Найдите длину $AC$.
Ответ:
Решение: