Известно, что \[ \frac{\cos 3x}{(2\cos 2x-1)\cos y}=\frac25+\cos^2(x+y)\quad\text{и}\quad\frac{\sin 3x}{(2\cos 2x+1)\sin y}=\frac35+\sin^2(x+y). \] Найдите все возможные значения выражения $\cos(x+3y)$, если известно, что их не менее двух.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сравните числа $\dfrac{\sin2016^\circ}{\sin2017^\circ}$ и $\dfrac{\sin2018^\circ}{\sin2019^\circ}$.
Ответ:
Решение:
Можно ли, применяя к числу $2$ функции $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$, $\arcsin$, $\arccos$, $\mathrm{arctg}$, $\mathrm{arcctg}$ в любом количестве и в любом порядке, получить число $2010$?
Ответ:
Решение:
Что больше: \[ \mathrm{tg}\,9^\circ-\mathrm{tg}\,63^\circ+\mathrm{tg}\,81^\circ-\mathrm{tg}\,27^\circ\quad\text{или}\quad\dfrac{200}{157}\pi\,? \]
Ответ:
Решение:
Вася написал на доске четыре числа: $\sin x$, $\cos x$, $\operatorname{tg}x$ и $Y\neq\operatorname{ctg}x$ в каком-то порядке. Все числа оказались различными и положительными. Всегда ли Петя может определить, где именно какое число?
Ответ:
Решение:
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg} 1$, $\operatorname{arctg}\frac12$, $\operatorname{arctg}\frac13$, $\ldots$, $\operatorname{arctg}\frac1{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее число раз можно последовательно взять логарифм по основанию 3 от числа $27^{81}$ (первый раз логарифм берётся от этого числа, а затем всякий раз — от числа, полученного в предыдущий раз)?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Выясните, какое из чисел больше: \[\frac{\lg2013}{2\lg2}\quad\text{или}\quad2\lg\frac{2013}{2}\,.\]
Ответ:
Решение:
Докажите неравенство \[ \log_{2015}2017\gt \frac{\log_{2015}1+\log_{2015}2+\ldots+\log_{2015}2016}{2016}. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
При какой перестановке $a_1$, $a_2$, …, $a_{2011}$ чисел $1$, $2$, …, $2011$ значение выражения \[a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^{a_{2010}^{a_{2011}}}}}}}\] будет наибольшим?
Ответ:
Решение:
Пусть $x=\log_3 5$, $y=\lg 12$. Представьте $\log_2 5$ в виде рационального выражения, составленного из натуральных чисел, $x$ и $y$ (с использованием скобок и знаков арифметических действий $+$, $-$, $\cdot$, $:$).
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Про три действительных числа $p$, $q$ и $r$ известно, что \[ p+q+r=5, \qquad \frac{1}{p+q}+\frac{1}{q+r}+\frac{1}{p+r}=9. \] Чему равняется выражение \[ \frac{r}{p+q}+\frac{p}{q+r}+\frac{q}{p+r}? \]
Ответ:
Решение: