Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg} 1$, $\operatorname{arctg}\frac12$, $\operatorname{arctg}\frac13$, $\ldots$, $\operatorname{arctg}\frac1{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее число раз можно последовательно взять логарифм по основанию 3 от числа $27^{81}$ (первый раз логарифм берётся от этого числа, а затем всякий раз — от числа, полученного в предыдущий раз)?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Выясните, какое из чисел больше: \[\frac{\lg2013}{2\lg2}\quad\text{или}\quad2\lg\frac{2013}{2}\,.\]
Ответ:
Решение:
Докажите неравенство \[ \log_{2015}2017\gt \frac{\log_{2015}1+\log_{2015}2+\ldots+\log_{2015}2016}{2016}. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
При какой перестановке $a_1$, $a_2$, …, $a_{2011}$ чисел $1$, $2$, …, $2011$ значение выражения \[a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^{a_{2010}^{a_{2011}}}}}}}\] будет наибольшим?
Ответ:
Решение:
Пусть $x=\log_3 5$, $y=\lg 12$. Представьте $\log_2 5$ в виде рационального выражения, составленного из натуральных чисел, $x$ и $y$ (с использованием скобок и знаков арифметических действий $+$, $-$, $\cdot$, $:$).
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Про три действительных числа $p$, $q$ и $r$ известно, что \[ p+q+r=5, \qquad \frac{1}{p+q}+\frac{1}{q+r}+\frac{1}{p+r}=9. \] Чему равняется выражение \[ \frac{r}{p+q}+\frac{p}{q+r}+\frac{q}{p+r}? \]
Ответ:
Решение:
Даны два ненулевых числа. Если к каждому из них прибавить единицу, а также из каждого из них вычесть единицу, то сумма обратных величин четырёх полученных чисел будет равна 0. Какое число может получиться, если из суммы исходных чисел вычесть сумму их обратных величин? Найдите все возможности.
Ответ:
Решение:
Даны положительные числа $a$ и $b$, удовлетворяющие условию \[a^3+ab-b^3=(a+b)^2.\] Чему может быть равна разность $a-b$?
Ответ:
Решение:
Квантовый компьютер расходует 1 кВт/ч электроэнергии на каждую сделанную им операцию умножения или сложения. При этом он умеет хранить результаты промежуточных действий. Докажите, что для любых пяти хранящихся в компьютере чисел $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ можно найти сумму \[ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de,\] затратив не более 10 кВт/ч.
Ответ:
Решение:
У Олега есть четыре карточки, на каждой из которых с одной и с другой стороны написаны натуральные числа (всего написано 8 чисел). Он рассматривает всевозможные четвёрки чисел, где первое число написано на первой карточке, второе — на второй, третье — на третьей, четвёртое — на четвёртой. Затем для каждой четвёрки он выписывает произведение чисел к себе в блокнот. Чему равна сумма восьми чисел на карточках, если сумма шестнадцати чисел в блокноте Олега равна 330?
Ответ:
Решение:
Целые числа $x$, $y$, $z$, $t$ таковы, что \[x+y+z+t=0.\] Сколько различных натуральных значений, не превосходящих 10 000, может принимать число \[(xy-zt)(xz-yt)(yz-xt)?\]
Ответ:
Решение:
Подберите такие не равные нулю числа $n$ и $m$, чтобы равенство \[ (n\cdot5^n)^n=m\cdot5^9 \] было верным.
Ответ:
Решение: