Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми — тоже узел этой сетки?
Ответ:
Решение:
Клетки бумажного квадрата $8\times 8$ раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата $2\times 2$, не имеющих общих клеток, раскраски которых совпадают. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.)
Ответ:
Решение:
У Пети имеется $50$ шариков трёх цветов: красные, синие и зелёные. Известно, что среди любых $34$ шариков есть хотя бы один красный; среди любых $35$ — синий; среди любых $36$ — зелёный. Сколько шариков зелёного цвета может быть у Пети?
Ответ:
Решение:
На бумажном правильном треугольнике со стороной 45 отметили 2023 красных точки. Можно ли на этом треугольнике разместить два правильных треугольника со стороной 1, не имеющих общих внутренних точек, так, чтобы внутри каждого из них не было ни одной красной точки?
Ответ:
Решение:
Квадратное поле размером $1100\times1100$ метров разделено на $121$ огороженный загон в форме квадратов со стороной $100$ м. В каждом из загонов поселились зайцы. Количество зайцев, живущих в соседних (имеющих общую сторону) загонах, отличается не более чем на $5$. Докажите, что есть на поле загоны с одинаковым числом проживающих в них зайцев.
Ответ:
Решение:
В мешке деда Мороза находится $30$ одинаковых по форме конфет в разных по цвету обертках: $5$ желтых, $10$ красных и $15$ синих. Петя, не заглядывая в мешок, вынимает из него несколько конфет. Какое максимальное количество конфет может взять Петя, чтобы быть уверенным в том, что в мешке останется не менее трех конфет одного цвета и не менее четырех — другого?
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $n\gt 1$ верно утверждение: из любых $n$ натуральных чисел можно выбрать два, разность квадратов которых делится на $399$?
Ответ:
Решение:
$n$ грибников ходили в лес и принесли суммарно $200$ грибов (возможно, некоторые из грибников не принесли домой ни одного гриба). Мальчик Петя, узнав об этом, заявил: «Какие-то двое из них обязательно принесли одинаковое количество грибов!» При каком наименьшем $n$ мальчик Петя наверняка окажется прав? Не забудьте обосновать свой ответ.
Ответ:
Решение:
В правильном 2017-угольнике провели все диагонали. Петя выбирает наугад какие-то $N$ диагоналей. При каком наименьшем $N$ среди выбранных диагоналей гарантированно найдутся две, имеющие одинаковую длину?
Ответ:
Решение:
В ящике лежат сто разноцветных шариков: 28 красных, 20 зелёных, 13 жёлтых, 19 синих, 11 белых и 9 чёрных. Какое наименьшее число шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них заведомо оказалось не менее 15 шариков одного цвета?
Ответ:
Решение:
В мешке $90$ шаров, отличающихся только цветом: $25$ красных, $25$ синих, $25$ жёлтых и $15$ зелёных. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее $15$ шаров одного цвета?
Ответ:
Решение: