Из клетчатого бумажного квадрата $100\times100$ вырезали по границам клеток 1950 двуклеточных прямоугольников. Докажите, что из оставшейся части можно вырезать по границам клеток четырёхклеточную фигурку вида (см. рисунок) — возможно, повёрнутую. (Если такая фигурка уже есть среди оставшихся частей, считается, что её получилось вырезать.)
Ответ:
Решение:
Пусть $p$ — простое число, большее 3. Докажите, что найдётся натуральное число $y$, меньшее $p/2$ и такое, что число $py+1$ невозможно представить в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше $y$.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n\geqslant4$ и $2n+4$ карточки, пронумерованные числами $1$, $2$, $\ldots$, $2n+4$. На карточке с номером $m$ написано вещественное число $a_m$, причем $[a_m]=m$. Докажите, что можно выбрать 4 карточки так, чтобы сумма чисел на первых двух карточках отличалась от суммы чисел на двух других карточках менее чем на $\dfrac{1}{n-\sqrt{n/2}}$.
Ответ:
Решение:
У 100 школьников есть стопка из 101 карточки, которые пронумерованы числами от 0 до 100. Первый школьник перемешивает стопку, затем берёт сверху из получившейся стопки по одной карточке, и при каждом взятии карточки (в том числе при первом) записывает на доску среднее арифметическое чисел на всех взятых им на данный момент карточках. Так он записывает 100 чисел, а когда в стопке остаётся одна карточка, он возвращает карточки в стопку, и далее всё то же самое, начиная с перемешивания стопки, проделывает второй школьник, потом третий, и т. д. Докажите, что среди выписанных на доске 10000 чисел найдутся два одинаковых.
Ответ:
Решение:
У Пети есть 10 000 гирь, среди них нет двух гирь равного веса. Также у него есть чудо-прибор: если положить в него 10 гирь, он сообщит сумму весов каких-то двух из них (при этом неизвестно, каких именно). Докажите, что Петя может использовать чудо-прибор так, чтобы через некоторое время указать на одну из гирь и точно назвать её вес. (В чудо-прибор нельзя класть другое количество гирь.)
Ответ:
Решение:
У натурального числа ровно 50 делителей. Может ли оказаться, что никакая разность двух различных его делителей не делится на 100?
Ответ:
Решение:
На графике функции $y=x^2$ отметили 1000 различных точек, абсциссы которых — целые числа из отрезка $[0;100\,000]$. Докажите, что можно выбрать шесть различных отмеченных точек $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$ таких, что площади треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ равны.
Ответ:
Решение:
Дано 1000-значное число без нулей в записи. Докажите, что из этого числа можно вычеркнуть несколько (возможно, ни одной) последних цифр так, чтобы получившееся число не было натуральной степенью числа, меньшего 500.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $k$. Из натуральных чисел, не превосходящих $12k^3$, выбраны $6k+20$ чисел. Докажите, что из них можно выбрать две непересекающиеся шестерки чисел с равными суммами.
Ответ:
Решение:
Существует ли такое натуральное число $n$, что неполные частные от деления $n$ на все натуральные числа от 10 до 1000 включительно — это различные нечетные простые числа, а остатки — составные числа (не обязательно различные)? Напомним, что 0 не является составным числом.
Ответ:
Решение:
На столе стоит 50 гирь попарно различных положительных весов. Может ли случиться, что для любых 24 из этих гирь среди оставшихся гирь можно выбрать несколько такого же суммарного веса?
Ответ:
Решение: