В мешке $90$ шаров, отличающихся только цветом: $25$ красных, $25$ синих, $25$ жёлтых и $15$ зелёных. Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, не видя их, чтобы среди них было не менее $15$ шаров одного цвета?
Ответ:
Решение:
В ящике лежат сто разноцветных шариков: 28 красных, 20 зелёных, 13 жёлтых, 19 синих, 11 белых и 9 чёрных. Какое наименьшее число шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них заведомо оказалось не менее 15 шариков одного цвета?
Ответ:
Решение:
В правильном 2017-угольнике провели все диагонали. Петя выбирает наугад какие-то $N$ диагоналей. При каком наименьшем $N$ среди выбранных диагоналей гарантированно найдутся две, имеющие одинаковую длину?
Ответ:
Решение:
$n$ грибников ходили в лес и принесли суммарно $200$ грибов (возможно, некоторые из грибников не принесли домой ни одного гриба). Мальчик Петя, узнав об этом, заявил: «Какие-то двое из них обязательно принесли одинаковое количество грибов!» При каком наименьшем $n$ мальчик Петя наверняка окажется прав? Не забудьте обосновать свой ответ.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $n\gt 1$ верно утверждение: из любых $n$ натуральных чисел можно выбрать два, разность квадратов которых делится на $399$?
Ответ:
Решение:
В мешке деда Мороза находится $30$ одинаковых по форме конфет в разных по цвету обертках: $5$ желтых, $10$ красных и $15$ синих. Петя, не заглядывая в мешок, вынимает из него несколько конфет. Какое максимальное количество конфет может взять Петя, чтобы быть уверенным в том, что в мешке останется не менее трех конфет одного цвета и не менее четырех — другого?
Ответ:
Решение:
Квадратное поле размером $1100\times1100$ метров разделено на $121$ огороженный загон в форме квадратов со стороной $100$ м. В каждом из загонов поселились зайцы. Количество зайцев, живущих в соседних (имеющих общую сторону) загонах, отличается не более чем на $5$. Докажите, что есть на поле загоны с одинаковым числом проживающих в них зайцев.
Ответ:
Решение:
На бумажном правильном треугольнике со стороной 45 отметили 2023 красных точки. Можно ли на этом треугольнике разместить два правильных треугольника со стороной 1, не имеющих общих внутренних точек, так, чтобы внутри каждого из них не было ни одной красной точки?
Ответ:
Решение:
У Пети имеется $50$ шариков трёх цветов: красные, синие и зелёные. Известно, что среди любых $34$ шариков есть хотя бы один красный; среди любых $35$ — синий; среди любых $36$ — зелёный. Сколько шариков зелёного цвета может быть у Пети?
Ответ:
Решение:
Клетки бумажного квадрата $8\times 8$ раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата $2\times 2$, не имеющих общих клеток, раскраски которых совпадают. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.)
Ответ:
Решение:
Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми — тоже узел этой сетки?
Ответ:
Решение:
Во время опроса 76 человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых 10 опрошенных по крайней мере 3 указали один и тот же фильм. При каком наибольшем $M$ можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся $M$ человек, указавших один и тот же фильм?
Ответ:
Решение:
В классе, состоящем из 20 учащихся, учитель раздал каждому свой сборник, содержащий ровно 100 задач. Каждый учащийся решил из этого сборника не менее $n$ задач, а Петя — больше, чем Вася. Для какого наименьшего значения $n$ при этом условии обязательно найдётся задача, которую решило не менее половины класса?
Ответ:
Решение:
Каждая точка плоскости раскрашена в один из трёх цветов. Обязательно ли найдётся треугольник площади $1$, все вершины которого имеют одинаковый цвет?
Ответ:
Решение:
В течение дня выставку посетили по одному разу ровно 1000 человек, причём в любой момент на ней находилось менее 38 посетителей. Какое наибольшее количество человек, не встречавшихся (попарно) на выставке друг с другом, можно при этом гарантированно выбрать из всех посетителей?
Ответ:
Решение:
Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали $1$ очко за победу, $\frac12$ — за ничью и $0$ — за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
а) по $5$ шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.
а) по $5$ шахматистов;
б) произвольное равное число шахматистов.
Ответ:
Решение:
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к $b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
Ответ:
Решение:
На фотографирование класса пришли 4 девочки и 8 мальчиков. Дети по двое подходят к фотографу и делают совместное фото. Среди какого наименьшего количества фотографий обязательно есть либо фотография двух мальчиков, либо фотография двух девочек, либо две фотографии с одними и теми же детьми?
Ответ:
Решение:
В квадрате со стороной 5 произвольным образом отметили 201 точку. Верно ли, что какие-то 5 точек можно накрыть квадратом со стороной 1?
Ответ:
Решение:
Убирая детскую комнату к приходу гостей, мама нашла 9 носков. Среди любых четырёх носков хотя бы два принадлежат одному хозяину. А среди любых пяти носков не больше трёх имеют одного хозяина. Сколько детей разбросало носки, и сколько носков принадлежит каждому ребенку?
Ответ:
Решение: