Ответ:
Решение:
Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии в $3$ раза меньше суммы последующих пяти её членов. Найдите третий член этой прогрессии, если седьмой член равен $52$.
Ответ:
Решение:
Дана возрастающая арифметическая прогрессия $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ Известно, что \[a_3+a_6=23,\quad a_6^2-a_3^2=207.\] Чему равен девятый член прогрессии?
Ответ:
Решение:
Пусть $S_k$ обозначает сумму первых $k$ членов прогрессии. Известно, что для некоторой арифметической прогрессии при всех натуральных значениях $n$ справедливо соотношение \[ S_{3n}-S_n=12n^2+n. \] Найдите восьмой член прогрессии.
Ответ:
Решение:
На бильярдном столе из одинаковых 153 шаров выложен правильный треугольник. Расположение шаров плотное: ни один дополнительный шар не может быть помещен в треугольник и любая пара соседних шаров в треугольнике касаются друг друга. Сколько шаров составляют сторону треугольника?
Ответ:
Решение:
Второй член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого её членов меньше 4. Найдите первый член этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
В бесконечной числовой последовательности $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ не все члены равны между собой. Для всех $n\geqslant2$ выполняется равенство \[ x_n=\frac{x_{n-1}+x_n+x_{n+1}}{3}. \] Найдите отношение $\dfrac{x_{2012}-x_{1006}}{x_{1006}-x_{503}}$.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всех натуральных трёхзначных чисел, не делящихся на 7, и имеющих последней цифрой 3.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, каждое из которых при делении на $5$ даёт остаток, равный $2$.
Ответ:
Решение:
Маша и Саша делят между собой ягоды, собранные ими в лесу. Вначале Маша берёт $15$ ягод, далее дети берут ягоды по очереди, причём каждый берёт ровно на одну ягоду больше, чем предыдущий. Если количество ягод, которое ребёнок должен взять, превышает количество ягод в куче, он берёт все оставшиеся ягоды. В конце дележа у Маши оказалось $1012$ ягод. Сколько ягод было в куче?
Ответ:
Решение:
Сколько одинаковых членов находится среди первых $2000$ членов арифметических прогрессий $9, 11, 13, \ldots$ и $3, 8, 13, \ldots$?
Ответ:
Решение:
Дана конечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, \ldots, a_n$ с положительной разностью, причём сумма всех её членов равна $S$, а $a_1\gt 0$. Известно, что если разность прогрессии увеличить в 3 раза, а её первый член оставить неизменным, то сумма $S$ увеличится в 2 раза. А во сколько раз увеличится $S$, если разность исходной прогрессии увеличить в 4 раза (оставив первый член неизменным)?
Ответ:
Решение:
$S$ — сумма первых 10 членов возрастающей арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, \ldots$, состоящей из целых чисел. Известно, что $a_6a_{12}\gt S+1$, $a_7a_{11}\lt S+17$. Укажите все возможные значения $a_1$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ — соответственно первый, второй и третий члены некоторой арифметической прогрессии (при этом $a$, $b$, $c$ не заданы, но известно, что $c\lt b\lt a$). Больший корень уравнения $ax^2-2bx+c=0$ является четвёртым членом этой прогрессии. Найдите его.
Ответ:
Решение:
Третий член арифметической прогрессии равен $3x+3$, пятый член равен $(x^2+2x)^2$, а девятый равен $3x^2$. Найдите $x$.
Ответ:
Решение:
Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2^\circ$ и начинающуюся с угла $143^\circ$. Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?
Ответ:
Решение:
В арифметической прогрессии, состоящей из $11$ членов, сумма квадратов первых пяти членов на $0{,}75$ больше суммы квадратов последних пяти членов. Найдите разность между суммой квадратов первых четырёх членов и суммой квадратов последних четырёх членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
$\{a_k\}$ — арифметическая прогрессия, $S_n$ — сумма первых $n$ ее членов. Известно, что \[ S_m:S_n=m(m+2):n(n+2) \] при любых целых положительных $m$ и $n$. Найти отношение $a_{2015}:a_{2014}$.
Ответ:
Решение:
$\{a_n\}$ — арифметическая прогрессия с $a_1=3$ и разностью $d=2$. $S_n$ — сумма первых ее $n$ членов. Функция $f(x)=ax^2+bx+c$ такова, что $f(a_n)=S_n$ для всех натуральных $n$. Найти $a$, $b$ и $c$.
Ответ:
Решение:
Найдите первый член арифметической прогрессии $a_1$, $a_2$, $\ldots$, если $a_{13}=0$, а произведение чисел $5^{a_1}$, $5^{a_2}$, $\ldots$, $5^{a_{24}}$ равно их среднему арифметическому.
Ответ:
Решение: