Коля записывает в тетрадь натуральные числа. Первым он пишет число 4, вторым — число 6. Каждое следующее число он пишет по следующему правилу. Если последними записанными числами были числа $a$ и $b$ (в указанном порядке), то следующим он записывает наименьшее составное число, которое больше, чем $2b-a$. Какое число он запишет 1501-м?
Ответ:
Решение:
Вася задал последовательность $x_n$ следующим образом: $x_0=2$, а для любого натурального $n$ \[ x_n=\left(n^4-2n^2+2\right)\left(\dfrac{x_{n-1}}{n^4-4n^3+4n^2+1}+2\right). \] Чему равно значение $x_{100}$?
Ответ:
Решение:
Последовательность $(a_n)$ удовлетворяет условиям\[a_0=0,\quad a_1\neq 0,\quad a_{n+1}-a_n=\sqrt{a_n+a_{n+1}}\quad\text{при всех } n\geqslant 0.\]Какие значения может принимать $a_{2024}$?
Ответ:
Решение:
День в Анчурии может быть либо ясным, когда весь день солнце, либо дождливым, когда весь день льёт дождь. И если сегодня день не такой, как вчера, то анчурийцы говорят, что сегодня погода изменилась. Однажды анчурийские ученые установили, что $1$ января день всегда ясный, а каждый следующий день в январе будет ясным, только если ровно год назад в этот день погода изменилась. В $2015$ году январь в Анчурии был весьма разнообразным: то солнце, то дожди. В каком году погода в январе впервые будет меняться ровно так же, как в январе $2015$ года?
Ответ:
Решение:
Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Дана бесконечная последовательность $(a_n)$, состоящая из натуральных чисел. Известно, что $a_1=a_2=1$ и при $n\gt 2$ число $a_n$ — минимальное натуральное число такое, что среди чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_n\leqslant \dfrac{n^2+7}{8}$ для любого $n$.
Ответ:
Решение:
Последовательность целых чисел $\{x_n\}$ такова, что \[x_1=1000\quad\text{и}\quad x_{n+1}=|x_n-7|\] для всех $n\geqslant1$. Найдите такое минимальное $n$, что $x_{n+2}=x_n$.
Ответ:
Решение:
Саша составляет список из 100 чисел по следующему правилу: первое число в списке равно 2025, второе число равно 1, каждое следующее получается так: из последнего записанного числа вычитается предпоследнее и прибавляется 5. Например, третье число равно $-2019$, потому что $1-2025+5=-2019$. Найдите сумму 100 первых чисел из списка Саши.
Ответ:
Решение:
Последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$ удовлетворяет равенству \[ a_1+a_2+\ldots+a_{2n-1}=a_n^2 \] при всех натуральных $n$. Найдите все такие последовательности, в которых встречается число 3.
Ответ:
Решение: