График $y=x+b\sqrt{x}+c$, где $c\gt 0$, имеет с осью ординат общую точку $C$, а ось абсцисс пересекает в точках $X_1$ и $X_2$. Обозначим через $O$ начало координат. Докажите, что $\angle CX_1O+\angle CX_2O=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
На доске пишут $n$ квадратных трёхчленов вида $\ast x^2+\ast x+\ast$ (вместо коэффициентов написаны звёздочки). Можно ли при каком-либо $n\gt 100$ поставить вместо $3n$ звёздочек некоторые $3n$ последовательных натуральных чисел (в каком-то порядке) так, чтобы каждый из $n$ данных трёхчленов имел два различных целых корня?
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $P(x)$ степени $n\gt 1$ с вещественными коэффициентами. Известно, что уравнение $P(P(P(x)))=P(x)$ имеет ровно $n^3$ различных вещественных корней. Докажите, что эти $n^3$ корней можно разбить на две группы с равными средними арифметическими.
Ответ:
Решение:
Уравнение \[ t^4+at^3+bt^2=(a+b)(2t-1) \] имеет положительные решения $t_1\lt t_2\lt t_3\lt t_4$. Докажите, что $t_1t_4\gt t_2t_3$.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем $k$ для любого многочлена $f(x)$ степени 100 с вещественными коэффициентами найдётся такой многочлен $g(x)$ степени не выше $k$ с вещественными коэффициентами, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ имеют ровно 100 общих точек?
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n$ с вещественными коэффициентами, у которого старший коэффициент равен 1. Оказалось, что можно выбрать 100 попарно различных вещественных корней $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{100}$ у многочлена $P(x)$ и 100 попарно различных вещественных корней $y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_{100}$ у многочлена $P(x)-1$ так, чтобы числа $x_i$ и $y_i$ отличались на 1 при всех $i=1, 2, \ldots, 100$. Каково наименьшее возможное значение $n$?
Ответ:
Решение: