Найдите хотя бы одно четырёхзначное число, обладающее следующим свойством: если сумму всех цифр этого числа умножить на произведение всех его цифр, то в результате получится 3990.
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее количество множителей требуется вычеркнуть из числа $99!$ так, чтобы произведение оставшихся множителей оканчивалось на 2?
Ответ:
Решение:
Петя взял все натуральные числа от 1 до 2025, возвёл их в квадрат и для каждого квадрата написал на доске его последнюю цифру. Чему равна сумма чисел на доске?
Ответ:
Решение:
Катя написала на доске натуральное число. За один ход она может взять две подряд идущие цифры этого числа, произведение которых является двузначным числом, и заменить их на это произведение.
Например, если бы число Кати было равно 1358, то она могла бы получить за один ход из него 1158 или 1340.
Известно, что после того как Катя произвела 3 операции со своим числом, она получила число 2345.
1. Какое число Катя могла написать изначально? Приведите один пример.
2. Укажите в любом порядке все числа, которые могли быть у Кати изначально.
Например, если бы число Кати было равно 1358, то она могла бы получить за один ход из него 1158 или 1340.
Известно, что после того как Катя произвела 3 операции со своим числом, она получила число 2345.
1. Какое число Катя могла написать изначально? Приведите один пример.
2. Укажите в любом порядке все числа, которые могли быть у Кати изначально.
Ответ:
Решение:
Петя написал на доске семизначное число. Для каждой пары соседних цифр этого числа Вася записал себе в тетрадку их сумму. Оказалось, что у Васи все числа различные. Какое максимальное число мог написать Петя?
Ответ:
Решение:
Рассмотрим 450 чисел, состоящих из одних девяток: \[9,\ 99,\ 999,\ \ldots,\ \underbrace{99\ldots9}_{450}.\] Сколько единиц в десятичной записи суммы этих 450 чисел?
Ответ:
Решение:
Четырёхзначное число $N$ состоит из ненулевых цифр, сумма которых равна 20. Известно, что сумма третьей и четвёртой цифры числа $N$ делится на его вторую цифру (нумерация цифр начинается слева).
1. Какое наименьшее значение может принимать $N$?
2. Какое наибольшее значение может принимать $N$?
1. Какое наименьшее значение может принимать $N$?
2. Какое наибольшее значение может принимать $N$?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее восьмизначное число, удовлетворяющее двум условиям:
- У него любые три подряд идущие цифры различны;
- У него произведение любых трёх подряд идущих цифр делится на 20.
Ответ:
Решение:
Малыши Коля и Маша учатся считать. В первую секунду Коля назвал число 1, во вторую — 2, в третью — 3 и т. д. Если Маше нравится число, названное Колей, то она записывает его себе в тетрадь, в конец текущей строки (одно число за другим, без пробелов и запятых). Спустя $n$ секунд у Маши в тетради оказалось записано
2 7 2 6 2 5 2 4 2 3.
Какое наименьшее значение может принимать $n$?
2 7 2 6 2 5 2 4 2 3.
Какое наименьшее значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее 12-значное число $N$, удовлетворяющее двум следующим условиям:
- В десятичной записи числа $N$ шесть цифр «4» и шесть цифр «7»;
- В десятичной записи числа $N$ никакие четыре подряд идущие цифры не образуют число «7444».
Ответ:
Решение:
Четырёхзначное число называется восхитительным, если оно само делится на 25, его сумма цифр делится на 25 и его произведение цифр делится на 25. Найдите все восхитительные числа.
Ответ:
Решение:
Маша написала на доске трёхзначное число, а Вера написала рядом такое же число, но перепутала две последние цифры местами. После этого Полина сложила полученные числа и получила четырёхзначную сумму, первые три цифры которой 195. Какова последняя цифра этой суммы? (Ответ нужно обосновать.)
Ответ:
Решение:
Лёша не поленился вычислить сумму \[ 9+99+999+\ldots+\underbrace{9\ldots9}_{2017} \] и выписать её на доску. Сколько раз в итоговом результате записана цифра 1?
Ответ:
Решение:
Последняя цифра в записи натурального числа в 2016 раз меньше самого числа. Найдите все такие числа.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Все натуральные числа, сумма цифр в записи которых делится на 5, выписывают в порядке возрастания: 5, 14, 19, 23, 28, 32, … Чему равна самая маленькая положительная разность между соседними числами в этом ряду? Приведите пример и объясните, почему меньше быть не может.
Ответ:
Решение:
Назовите максимальное натуральное число $n\gt 100$ такое, что при стирании двух последних цифр оно уменьшается ровно в 112 раз?
Ответ:
Решение:
В тетради Оли 100 страниц, девочка решила пронумеровать их по порядку. Но ей не нравилась цифра 1, поэтому она решила не использовать числа, которые содержат в своей записи эту цифру. Таким образом, на первой странице она написала 2, на второй — 3, …, на восьмой — 9, на девятой — 20 и так далее. Каким числом Оля пронумеровала последнюю страницу?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: