Известно, что \[ \frac{\cos x-\sin x}{\sin y}=\frac{1}{3\sqrt2}\operatorname{ctg}\frac{x+y}{2}\quad\text{и}\quad\frac{\sin x+\cos x}{\cos y}=-6\sqrt2\operatorname{tg}\frac{x+y}{2}. \] Найдите все возможные значения выражения $\operatorname{tg}(x+y)$, если известно, что их не менее трёх.
Ответ:
Решение:
Известно, что \[ \frac{\cos 3x}{(2\cos 2x-1)\cos y}=\frac25+\cos^2(x+y)\quad\text{и}\quad\frac{\sin 3x}{(2\cos 2x+1)\sin y}=\frac35+\sin^2(x+y). \] Найдите все возможные значения выражения $\cos(x+3y)$, если известно, что их не менее двух.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сравните числа $\dfrac{\sin2016^\circ}{\sin2017^\circ}$ и $\dfrac{\sin2018^\circ}{\sin2019^\circ}$.
Ответ:
Решение:
Можно ли, применяя к числу $2$ функции $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$, $\arcsin$, $\arccos$, $\mathrm{arctg}$, $\mathrm{arcctg}$ в любом количестве и в любом порядке, получить число $2010$?
Ответ:
Решение:
Что больше: \[ \mathrm{tg}\,9^\circ-\mathrm{tg}\,63^\circ+\mathrm{tg}\,81^\circ-\mathrm{tg}\,27^\circ\quad\text{или}\quad\dfrac{200}{157}\pi\,? \]
Ответ:
Решение:
Вася написал на доске четыре числа: $\sin x$, $\cos x$, $\operatorname{tg}x$ и $Y\neq\operatorname{ctg}x$ в каком-то порядке. Все числа оказались различными и положительными. Всегда ли Петя может определить, где именно какое число?
Ответ:
Решение:
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg} 1$, $\operatorname{arctg}\frac12$, $\operatorname{arctg}\frac13$, $\ldots$, $\operatorname{arctg}\frac1{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
Ответ:
Решение:
Не используя калькулятора, определите знак числа \[(\cos(\cos 1)-\cos 1)\,(\sin(\sin 1)-\sin 1).\]
Ответ:
Решение:
На доске написано число ноль. Петру разрешается совершать следующие операции:
- применить к одному из написанных на доске чисел тригонометрическую ($\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$ или $\operatorname{ctg}$) или обратную тригонометрическую ($\arcsin$, $\arccos$, $\operatorname{arctg}$ или $\operatorname{arcctg}$) функцию и написать результат на доске;
- написать на доске частное или произведение двух уже написанных чисел.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Известно, что $\angle C=57^\circ$, $\sin\angle A+\sin\angle B=\sqrt{2}$ и $\cos\angle A+\cos\angle B=2-\sqrt{2}$. Сколько градусов составляет угол $D$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для некоторых $x$ и $y$ суммы $\sin x+\cos y$ и $\sin y+\cos x$ — положительные рациональные числа. Докажите, что найдутся такие натуральные числа $m$ и $n$, что $m\sin x+n\cos x$ — натуральное число.
Ответ:
Решение:
Число $x$ таково, что обе суммы $S=\sin64x+\sin65x$ и $C=\cos64x+\cos65x$ — рациональные числа. Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
Ответ:
Решение:
Число $x$ таково, что $\sin x+\operatorname{tg}x$ и $\cos x+\operatorname{ctg}x$ — рациональные числа. Докажите, что $\sin 2x$ является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: