В лаборатории имеются колбы двух размеров (объемом $V$ и объемом $V/3$) в суммарном количестве 100 штук, причем колб каждого размера не менее 2. Лаборант поочередно случайно выбирает две колбы, и первую из них полностью заполняет 70-процентным раствором соли, а вторую полностью заполняет 40-процентным раствором соли. Затем он сливает содержимое этих двух колб в одну чашу и определяет процентное содержание соли в ней. При каком наименьшем количестве больших колб $N$ событие «процентное содержание соли в чаше находится в пределах от $50\%$ до $60\%$ включительно» будет случаться реже события «при случайном бросании двух симметричных монет выпадает орел и решка (в любом порядке)»? Ответ обосновать.
Ответ:
Решение:
На автобазе имеется в наличии 5 красных, 6 синих и 5 желтых автобусов. Случайным образом составляется колонна из 7 автобусов. Какова вероятность, что первым в колонне будет красный автобус, а среди остальных нет красных, но зато ровно 4 синих?
Ответ:
Решение:
На новогодний корпоратив четверо сотрудников привели по одному ребенку. Для них в течение вечера разыгрывали шесть подарков. Какова вероятность, что ни один ребенок не ушел с праздника без подарка?
Ответ:
Решение:
В колоде $10$ карт, на каждой из них нарисовано одно из чисел от $1$ до $10$. Случайно выбранную из колоды карту кладут на стол, показывают всем написанное на ней число и возвращают ее в колоду. После этого колода тщательно перемешивается и готова к продолжению игры. Петя выкладывал на стол карту три раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших чисел оказалась равной $5$?
Ответ:
Решение:
Игральная кость представляет собой кубик, на гранях которого отмечено другим цветом от одного до шести очков. Петя случайным образом бросает на стол три игральных кости одновременно и считает сумму числа очков, выпавших на всех костях. Каждое значение $s$ этой суммы, расположенное от 3 до 18, может появиться с определенной вероятностью. Найти $s$, при котором эта вероятность максимально возможная.
Ответ:
Решение:
Через случайно выбранные три вершины куба с ребром 2 проводится плоскость. Найти вероятность того, что площадь сечения превзойдет 5. Допускается, что эти вершины принадлежат одной грани куба.
Ответ:
Решение:
Случайно выбранное шестизначное целое положительное число оканчивается на 32. Найти вероятность того, что оно делится на 14.
Ответ:
Решение:
Петя случайно раскладывает $56$ одинаковых шаров по $3$ пронумерованным ящикам. Найдите вероятность того, что в каждом ящике окажется чётное (возможно, нулевое) количество шаров.
Ответ:
Решение:
В телеигре ведущий берет несколько коробок и ровно в три из них кладет по одному шарику. Игрок может указать на пять коробок и открыть их. Если в этих коробках лежат все три шарика, то игрок выигрывает. Игроку разрешили открыть шесть коробок. Во сколько раз увеличилась вероятность выигрыша игрока?
Ответ:
Решение:
Бросили 80 правильных игральных костей (кубиков с цифрами от 1 до 6 на гранях; вероятность выпадения каждой из граней одна и та же) и посчитали сумму выпавших цифр. Какая из вероятностей меньше: того, что эта сумма больше 400, или того, что эта сумма не больше 160?
Ответ:
Решение:
На гранях шестигранного игрального кубика расставлены числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Кубик бросают, и он падает на стол. После этого видны числа на всех гранях, кроме одной. Числа на пяти видимых гранях перемножаются. Найдите вероятность того, что это произведение делится на 16.
Ответ:
Решение:
Код замка состоит из трех цифр от 0 до 9. Замок открывается, если сумма цифр кода делится на 3. Найти вероятность того, что случайно набранный код откроет замок.
Ответ:
Решение:
Найдите вероятность, что у случайно выбранного восьмизначного нечётного числа все цифры являются нечётными. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Игрок бросает две игральные кости. Выигрыш равен максимальному числу, выпавшему на этих двух костях. Найдите матожидание и дисперсию выигрыша.
Ответ:
Решение:
В ряд стоят 10 пустых стульев. На них случайным образом садятся 5 человек. Найдите математическое ожидание количества пустых стульев, у которых оба соседних стула заняты людьми.
Ответ:
Решение:
На заводе по производству микросхем брак составляет $5\%$. Для проверки качества со склада случайным образом отбирают $6$ микросхем. Случайная величина $X$ — количество бракованных микросхем среди отобранных. Найдите дисперсию и стандартное отклонение этой величины.
Ответ:
Решение:
В $15$-этажном офисном здании на первом этаже в лифт зашли $8$ сотрудников. Каждый из них с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже со $2$-го по $15$-й. Найдите среднее количество остановок, которые сделает лифт.
Ответ:
Решение:
В магазине проходит акция: в каждой упаковке мармелада лежит одна из $10$ различных наклеек с супергероями. Вероятность выпадения каждой наклейки одинакова. Сколько в среднем упаковок мармелада нужно купить, чтобы собрать всю коллекцию из $10$ наклеек?
Ответ:
Решение:
В вазе стоят $6$ красных роз и $4$ белых. Садовник случайным образом выбирает $3$ цветка для букета. Случайная величина $X$ — это количество красных роз в букете. Составьте ряд распределения, найдите дисперсию и стандартное отклонение $X$.
Ответ:
Решение:
Баскетболист выполняет штрафные броски до первого промаха. Вероятность попадания при каждом броске неизменна и равна $0,7$. Случайная величина $X$ равна количеству точных попаданий до того, как он промахнется. Найдите дисперсию и стандартное отклонение этой величины. Как вы думаете, сколько попыток стоит запланировать организаторам, чтобы точно дождаться промаха?
Ответ:
Решение: