Про вещественное число $x$ известно, что \[ \sin x+1001\cos x=1000. \] Найдите максимальное значение выражения $|1001\sin x-\cos x|$. Ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\cos\alpha-\sin\beta=\frac14$, $\cos 3\alpha+\sin 3\beta=-\frac{11}{16}$. Найдите наибольшее значение выражения $\cos^2\alpha+\sin^2\beta$.
Ответ:
Решение:
Углы $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяют равенствам \[ \sin(2\alpha+2\beta)=-\frac1{\sqrt5};\quad \sin(2\alpha+4\beta)+\sin 2\alpha=-\frac45. \] Найдите все возможные значения $\operatorname{tg}\alpha$, если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\operatorname{tg}(2\alpha-\beta)+6\operatorname{tg}2\alpha+\operatorname{tg}\beta=0$ и $\operatorname{tg}\alpha=2$. Найдите $\operatorname{ctg}\beta$.
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения \[ \cos^4\dfrac{5\pi}{24}+\cos^4\dfrac{11\pi}{24}+\sin^4\dfrac{13\pi}{24}+\sin^4\dfrac{19\pi}{24}. \]
Ответ:
Решение:
Даны два числа $x\lt y$. Оказалось, что $\sin(\pi x)+\cos(\pi y)=\dfrac{3\sqrt2}{5}$, $\cos(\pi x)-\sin(\pi y)=\dfrac{4\sqrt2}{5}$. Какое наименьшее значение может принимать величина $y-x$?
Ответ:
Решение:
Даны два числа $x\lt y$. Оказалось, что $\sin(\pi x)+\sin(\pi y)=\dfrac{4\sqrt2}{5}$, $\cos(\pi x)+\cos(\pi y)=\dfrac{3\sqrt2}{5}$. Какое наименьшее значение может принимать величина $y-x$?
Ответ:
Решение:
Известно, что $\sin x=2\cos y-\dfrac52\sin y$, $\cos x=2\sin y-\dfrac52\cos y$. Найдите $\sin2y$.
Ответ:
Решение:
Вычислите $\operatorname{tg}^2x+\operatorname{ctg}^2x$, если $\operatorname{tg}x-\operatorname{ctg}x=-3$.
Ответ:
Решение:
Вычислите $(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\beta-\cos\beta)$, если $\sin(\alpha+\beta)=0{,}8$ и $\cos(\alpha-\beta)=0{,}3$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=16$, а $\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta=18$. Найдите $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta=8$, а $\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta=40$. Найдите $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=f(x)=\cos 2x+2\cos x+1$ на отрезке $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{3};~\pi\right]$.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=f(x)=2\cos 2x+4\sin x+5$ на отрезке $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{6};~\frac{\pi}{2}\right]$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Вычислить:
а) $\displaystyle \sin\left(\frac12\arccos\frac{3}{5}\right)$;
б) $\displaystyle \cos\left(2\arcsin\frac45\right)$;
в) $\displaystyle \text{arctg}\,2+\text{arctg}\,3$.
а) $\displaystyle \sin\left(\frac12\arccos\frac{3}{5}\right)$;
б) $\displaystyle \cos\left(2\arcsin\frac45\right)$;
в) $\displaystyle \text{arctg}\,2+\text{arctg}\,3$.
Ответ:
Решение:
Вычислить:
а) $\displaystyle\arccos\cos\frac{53\pi}{9}$,
б) $\displaystyle\arcsin\sin\frac{41\pi}{8}$,
в) $\arcsin\sin 3$.
а) $\displaystyle\arccos\cos\frac{53\pi}{9}$,
б) $\displaystyle\arcsin\sin\frac{41\pi}{8}$,
в) $\arcsin\sin 3$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: