В центре прямоугольного биллиардного стола длиной 3 м и шириной 1 м стоит биллиардный шарик. По нему ударяют кием в случайном направлении. После удара шар останавливается, пройдя ровно 2 м. Найдите ожидаемое число отражений от бортиков стола.
Ответ:
Решение:
Башня в замке короля Артура увенчана крышей, которая представляет собой треугольную пирамиду, у которой все плоские углы при вершине — прямые. Три ската крыши покрашены в разные цвета. Красный скат крыши наклонен к горизонтали под углом $\alpha$, а синий — под углом $\beta$. Найдите вероятность того, что дождевая капля, вертикально упавшая на крышу в случайном месте, упала на зеленый скат.
Ответ:
Решение:
На каменистой дороге Рассеянный Ученый проколол колесо автомобиля сразу в трех совершенно случайных и независимых точках. Серьезный ремонт невозможен, но, к счастью, в багажнике нашлась старая довольно рваная колесная камера. Ученый сумел вырезать из нее большой неповрежденный кусок, которым можно накрыть пробитую шину изнутри на $\frac{2}{3}$ ее длины или даже чуть больше.
а) Докажите, что Ученый сможет разместить вырезанный кусок камеры внутри шины так, что все три прокола будут закрыты.
б) Какова вероятность того, что шину можно разрезать на три равные по длине части, на каждой из которых будет ровно один прокол? (Под разрезом здесь понимается разрез полуплоскостью, проходящей через ось колеса, то есть шину следует представлять как окружность, разрезанную на три равные дуги.)
а) Докажите, что Ученый сможет разместить вырезанный кусок камеры внутри шины так, что все три прокола будут закрыты.
б) Какова вероятность того, что шину можно разрезать на три равные по длине части, на каждой из которых будет ровно один прокол? (Под разрезом здесь понимается разрез полуплоскостью, проходящей через ось колеса, то есть шину следует представлять как окружность, разрезанную на три равные дуги.)
Ответ:
Решение:
Ломаная на плоскости составлена из трех одинаковых отрезков. Ее крайние звенья случайным образом повернуты относительно центрального звена. Найдите вероятность того, что крайние звенья пересекаются.
Ответ:
Решение:
Рассеянный Ученый проводит собеседование со Студентом.
— Ну-с, молодой человек, проверим вашу везучесть. Я дам Вам число 1 и еще два совершенно случайных и независимых друг от друга числа из отрезка $[0;\,a]$, где $a\gt 0$. Я возьму Вас ассистентом, только если Вы построите треугольник, длины сторон которого равны трем имеющимся у Вас числам. Так и быть, число $a$ Вы вольны выбрать сами.
Какое число должен назвать Студент, чтобы вероятность существования такого треугольника оказалась наибольшей?
— Ну-с, молодой человек, проверим вашу везучесть. Я дам Вам число 1 и еще два совершенно случайных и независимых друг от друга числа из отрезка $[0;\,a]$, где $a\gt 0$. Я возьму Вас ассистентом, только если Вы построите треугольник, длины сторон которого равны трем имеющимся у Вас числам. Так и быть, число $a$ Вы вольны выбрать сами.
Какое число должен назвать Студент, чтобы вероятность существования такого треугольника оказалась наибольшей?
Ответ:
Решение: