Изначально на доске написано натуральное число $N$. В любой момент Миша может выбрать число $a\gt 1$ на доске, стереть его и дописать все натуральные делители $a$, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано $N^2$ чисел. При каких $N$ это могло случиться?
Ответ:
Решение:
Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что $n^3+11n$ делится на 6 при любом $n \in \mathbb{N}$.
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что
$$1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что
$$\frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\ldots+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}=\frac{n}{4n+1}.$$
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что
$$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}.$$
Ответ:
Решение:
Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что
$$1^3+2^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$
Ответ:
Решение: