Петя, Вася и Толя вернулись с рыбалки, на которой каждый из них поймал некоторое количество рыб (хотя бы одну). После рыбалки они стали хвастаться своими уловами. Петя сказал: «Я поймал рыб не меньше, чем каждый из остальных!». Вася сказал: «Я поймал рыб не меньше, чем Петя и Толя в сумме!». Толя сказал: «Я поймал на 25% больше рыб, чем Вася!». Позже выяснилось, что каждый из ребят преувеличил свой улов не более, чем в $a$ раз. Какое наименьшее значение могло принимать число $a$?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n\geqslant 2$. Петя и Вася играют в следующую игру. Петя выбирает $2n$ (не обязательно различных) неотрицательных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{2n}$, сумма которых равна 1. Вася расставляет эти числа по кругу в некотором порядке по своему усмотрению. После этого он вычисляет произведения пар соседних чисел и выписывает на доску наибольшее из всех $2n$ полученных произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, а Вася — чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при правильной игре?
Ответ:
Решение:
Петя и Вася играют в следующую игру. Петя выбирает 100 (не обязательно различных) неотрицательных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{100}$, сумма которых равна 1. Вася разбивает их на 50 пар по своему усмотрению, считает произведение чисел в каждой паре и выписывает на доску наибольшее из 50 полученных произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, а Вася — чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при правильной игре?
Ответ:
Решение:
Дано число $a\in(0,1)$. Положительные числа $x_0$, $x_1$, …, $x_n$ удовлетворяют условиям \[x_0+x_1+\ldots+x_n=n+a\] и \[\frac{1}{x_0}+\frac{1}{x_1}+\ldots+\frac{1}{x_n}=n+\frac{1}{a}.\] Найдите наименьшее значение выражения $x_0^2+x_1^2+\ldots+x_n^2$.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее число $m$ такое, что для любых положительных чисел $a$, $b$ и $c$, сумма которых равна 1, выполнено неравенство \[ \sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\geqslant m. \]
Ответ:
Решение:
Петя выбирает такие неотрицательные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{11}$, что их сумма равна 1. Вася расставляет их в ряд по своему усмотрению, считает произведения соседних чисел и выписывает на доску наибольшее из получившихся десяти произведений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, Вася хочет, чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при наилучшей игре Пети и Васи?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: