В треугольнике $MNK$ на стороне $MN$ взята точка $P$ так, что $MP:PN=2:3$, а на стороне $NK$ отмечена точка $Q$ так, что $NQ:QK=5:4$. Прямые $KP$, $MQ$ пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $KOQ$, если известно, что площадь треугольника $MOP$ равна 12.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, имеющего равные диагонали, если длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны 13 и 7.
Ответ:
Решение:
Площадь ромба равна 8 кв. см. Каждую его сторону продлили на четверть своей длины в обе стороны. Концы всех этих отрезков соединили. Найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Три правильных пятиугольника имеют общий центр, их стороны соответственно параллельны. Стороны двух пятиугольников равны $4$ см и $12$ см. Третий пятиугольник делит площадь фигуры, заключённой между первыми двумя, в отношении $1:3$, считая от меньшего пятиугольника. Найдите сторону третьего пятиугольника.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $KLM$ с катетами $LM=60$ и $KM$. На сторонах $KL$, $LM$ и $MK$ выбраны точки $M_1$, $K_1$, $L_1$ соответственно так, что $KM_1=LK_1=ML_1=2$. Найдите площадь треугольника $K_1L_1M_1$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $BC=30$ и $AC=40$. На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ выбраны точки $C_1$, $A_1$, $B_1$ соответственно так, что $AC_1=BA_1=CB_1=1$. Найдите площадь треугольника $A_1B_1C_1$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=BC$, $\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$. Из вершины $B$ опущен перпендикуляр $BH$ на сторону $AD$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$, если известно, что $BH=h$.
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$ и выбраны точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ такие, что точка $A$ является серединой отрезка $DD_1$, точка $B$ — серединой $AA_1$, точка $C$ — серединой $BB_1$ и точка $D$ — серединой $CC_1$. Найдите площадь $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $S(ABCD)=1$.
Ответ:
Решение:
На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взята точка $E$, а на боковых сторонах $AB$ и $BC$ точки $D$ и $F$ так, что $DE\parallel BC$ и $EF\parallel AB$. Какую часть площади треугольника $ABC$ занимает площадь треугольника $DEF$, если $BF:EF=2:3$?
Ответ:
Решение:
Точка $M$ делит сторону $BC$ параллелограмма $ABCD$ в отношении $BM:MC=2$. Прямая $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $K$. Найти площадь четырехугольника $CMKD$, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $1$.
Ответ:
Решение:
Петя нарисовал на плоскости прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=\sqrt{3}$, $AC=4$. Вася последовательно передвигает сначала точку $A$ вдоль прямой, параллельной $BC$, затем точку $B$ вдоль прямой, параллельной (новой) $AC$, а затем $C$ вдоль прямой параллельной (новой) прямой $AB$. Обозначим полученный Васей треугольник $A'B'C'$. Он обнаружил, что $\angle A'B'C'=120^\circ$, а $A'B'=5$. Найдите $B'C'$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике на приведённом чертеже площади $\Delta ADE$ и $\Delta BFE$ равны $4$, а площадь $\Delta FDE$ равна $2$. Найдите площадь $\Delta CDF$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $PQR$ на стороне $PQ$ выбрана точка $K$, а на стороне $QR$ — точка $L$. Отрезки $PL$ и $KR$ пересекаются в точке $T$. Чему равна площадь треугольника $PQR$, если $S_{PKT}=10$, $S_{PTR}=11$, $S_{RTL}=12$?
Ответ:
Решение:
На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $D$ такая, что площадь треугольника $BCD$ равна $4$, а площадь треугольника $ACD$ равна $1$. В треугольнике $ACD$ проведена высота $DH$. Найдите площадь четырёхугольника $BCHD$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $N$ и $M$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что площади треугольников $ANP$, $CMP$ и $CPA$ равны соответственно $8$, $10$ и $9$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ взяты соответственно точки $N$ и $M$. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что площади треугольников $ANP$, $CMP$ и $CPA$ равны соответственно 5, 7 и 6.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно точки $D$, $E$ и $F$ так, что прямая $DF$ параллельна стороне $BC$. Найдите площадь четырёхугольника $ADEF$, если площади треугольников $ABC$ и $ADF$ равны $150$ и $6$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Около прямоугольного треугольника $ABC$ с катетами $AB=5$ и $BC=6$ описали прямоугольник $ADEC$, как показано на рисунке. Какова площадь $ADEC$?
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ расположены точки $M$ и $N$ соответственно. При этом $AM:MB=3:1$, $CN:NB=1:7$. Какой процент от площади четырёхугольника $AMNC$ составляет площадь треугольника $MBN$?
Ответ:
Решение:
К графику функции $y=-\frac{x^2}{12}+x-\frac{16}{3}$ проведена касательная, пересекающая график функции $y=3|x+6|-\frac73$ в точках $A$ и $B$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника с вершинами в точках $A$, $B$ и $C\left(-6;-\frac73\right)$, если $\angle CAB=2\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}+\angle CBA$.
Ответ:
Решение: