В треугольнике на приведённом чертеже площади $\Delta ADE$ и $\Delta BFE$ равны $4$, а площадь $\Delta FDE$ равна $2$. Найдите площадь $\Delta CDF$.
Ответ:
Решение:
Петя нарисовал на плоскости прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=\sqrt{3}$, $AC=4$. Вася последовательно передвигает сначала точку $A$ вдоль прямой, параллельной $BC$, затем точку $B$ вдоль прямой, параллельной (новой) $AC$, а затем $C$ вдоль прямой параллельной (новой) прямой $AB$. Обозначим полученный Васей треугольник $A'B'C'$. Он обнаружил, что $\angle A'B'C'=120^\circ$, а $A'B'=5$. Найдите $B'C'$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ делит сторону $BC$ параллелограмма $ABCD$ в отношении $BM:MC=2$. Прямая $AM$ пересекает диагональ $BD$ в точке $K$. Найти площадь четырехугольника $CMKD$, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $1$.
Ответ:
Решение:
На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взята точка $E$, а на боковых сторонах $AB$ и $BC$ точки $D$ и $F$ так, что $DE\parallel BC$ и $EF\parallel AB$. Какую часть площади треугольника $ABC$ занимает площадь треугольника $DEF$, если $BF:EF=2:3$?
Ответ:
Решение:
Дан параллелограмм $ABCD$ и выбраны точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $D_1$ такие, что точка $A$ является серединой отрезка $DD_1$, точка $B$ — серединой $AA_1$, точка $C$ — серединой $BB_1$ и точка $D$ — серединой $CC_1$. Найдите площадь $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $S(ABCD)=1$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=BC$, $\angle ABC=\angle ADC=90^\circ$. Из вершины $B$ опущен перпендикуляр $BH$ на сторону $AD$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$, если известно, что $BH=h$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $BC=30$ и $AC=40$. На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ выбраны точки $C_1$, $A_1$, $B_1$ соответственно так, что $AC_1=BA_1=CB_1=1$. Найдите площадь треугольника $A_1B_1C_1$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $KLM$ с катетами $LM=60$ и $KM$. На сторонах $KL$, $LM$ и $MK$ выбраны точки $M_1$, $K_1$, $L_1$ соответственно так, что $KM_1=LK_1=ML_1=2$. Найдите площадь треугольника $K_1L_1M_1$.
Ответ:
Решение:
Три правильных пятиугольника имеют общий центр, их стороны соответственно параллельны. Стороны двух пятиугольников равны $4$ см и $12$ см. Третий пятиугольник делит площадь фигуры, заключённой между первыми двумя, в отношении $1:3$, считая от меньшего пятиугольника. Найдите сторону третьего пятиугольника.
Ответ:
Решение:
Площадь ромба равна 8 кв. см. Каждую его сторону продлили на четверть своей длины в обе стороны. Концы всех этих отрезков соединили. Найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, имеющего равные диагонали, если длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны 13 и 7.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $MNK$ на стороне $MN$ взята точка $P$ так, что $MP:PN=2:3$, а на стороне $NK$ отмечена точка $Q$ так, что $NQ:QK=5:4$. Прямые $KP$, $MQ$ пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $KOQ$, если известно, что площадь треугольника $MOP$ равна 12.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечены точки $N$ и $M$ так, что \[ BN:NM:MC=1:2:4. \] На стороне $AC$ отмечена точка $P$ так, что $AP:PC=3:2$. Отрезки $AN$ и $BP$ пересекаются в точке $K$, а отрезки $AM$ и $BP$ — в точке $T$. Найдите площадь треугольника $AKT$, если площадь треугольника $ABC$ равна 1035.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ такая, что $BM:MC=2:5$. Биссектриса $BL$ данного треугольника и отрезок $AM$ пересекаются в точке $P$ под углом $90^\circ$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $F$ такая, что $MF:FC=1:4$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LF$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $F$ такая, что $MF:FC=1:4$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LF$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ такая, что $BM:MC=2:7$. Биссектриса $BL$ данного треугольника и отрезок $AM$ пересекаются в точке $P$ под углом $90^\circ$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $T$ такая, что $MT:TC=1:6$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LT$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $T$ такая, что $MT:TC=1:6$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LT$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC=3$ и $BC=14$. Построим треугольник $A_1B_1C_1$, последовательно переместив точку $A$ на некоторое расстояние параллельно отрезку $BC$ (точка $A_1$), затем точку $B$ — параллельно отрезку $A_1C$ (точка $B_1$) и, наконец, точку $C$ — параллельно отрезку $A_1B_1$ (точка $C_1$). Чему равна длина отрезка $B_1C_1$, если оказалось, что угол $A_1B_1C_1$ прямой и $A_1B_1=2$?
Ответ:
Решение:
Точка $M$ расположена внутри треугольника $ABC$; точки $H_1$, $H_2$, $H_3$ — её проекции на стороны $AB$, $BC$, $AC$ соответственно. Известно, что $AB=AC=7\sqrt3$, $BC=2\sqrt{26}$, а площади четырёхугольников $BH_1MH_2$, $CH_2MH_3$, $AH_1MH_3$ равны между собой. Найдите $MH_2$.
Ответ:
Решение:
Точки $E, F, G, H$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ соответственно, а точки $J$, $K$ — середины его диагоналей $BD$ и $AC$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $J$ параллельно $AC$, и прямая, проходящая через точку $K$ параллельно $BD$, пересекаются в точке $N$. Найдите площадь четырёхугольника $AHNE$, если известно, что $3S(DGJH)+5S(EJFB)=11$ (через $S(\Phi)$ обозначена площадь фигуры $\Phi$).
Ответ:
Решение:
На сторонах параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E, F, G$ и $H$ и соединены отрезками друг с другом и с вершинами параллелограмма, как показано на рисунке. Полученные в результате разбиения параллелограмма многоугольника раскрасили в шахматном порядке. Для всех частей, закрашенных серым цветом, кроме одной, Петя отметил на рисунке их площади $y_1, \ldots, y_6$. Найдите площадь $y_7$ оставшейся серой части.
Ответ:
Решение:
На сторонах параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E,F,G,H,K$ и $L$, как показано на рисунке. Петя соединил некоторые из точек отрезками и раскрасил полученные многоугольники в шахматном порядке. После этого он написал на всех закрашенных многоугольниках, кроме одного, их площади $x_1,\ldots,x_{11}$. Найдите оставшуюся площадь $x_{12}$.
Ответ:
Решение: