В окружность вписан четырёхугольник $KLMN$ с диагоналями $KM$ и $LN$, которые пересекаются в точке $T$. Основания перпендикуляров, опущенных из точки $T$ на стороны четырёхугольника, лежат на этих сторонах. Расстояния от точки $T$ до сторон $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ равны $4\sqrt2$, $\sqrt2$, $\frac{8}{\sqrt{17}}$ и $\frac{8}{\sqrt{17}}$ соответственно.
а) Найдите отношение $KT:TM$.
б) Найдите длину диагонали $LN$, если дополнительно известно, что $KM=10$.
а) Найдите отношение $KT:TM$.
б) Найдите длину диагонали $LN$, если дополнительно известно, что $KM=10$.
Ответ:
Решение:
Продолжение сторон $BC$ (за точку $C$) и $AD$ (за точку $D$) вписанного в окружность четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $ABE$, лежит на отрезке $CD$. Найдите наибольшее возможное значение суммы $ED+DO$, если известно, что $BE=12$.
Ответ:
Решение:
Около выпуклого четырехугольника $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны и по длине равны 5 и 6, можно описать окружность с центром в точке $O$. Найти площадь четырехугольника $ABCO$.
Ответ:
Решение:
Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность и его диагонали пересекаются в точке $P$. Точки $K$, $L$ и $M$ — середины сторон $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Радиус окружности, описанной около треугольника $KLP$, равен 1. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $LMP$.
Ответ:
Решение:
Три стороны выпуклого четырехугольника имеют длины $2$, $4$ и $5$. Известно, что существует круг, пересекающий все стороны четырехугольника по хордам, имеющим одинаковые длины. Найти наибольшее возможное значение длины четвертой стороны.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ известно, что $\angle CAD=\angle CDB$ и $\angle BAD=\angle CDA=60^\circ$.
1. Можно ли в четырехугольник $ABCD$ вписать окружность?
2. Найдите минимум отношения стороны $BC$ к стороне $AD$.
1. Можно ли в четырехугольник $ABCD$ вписать окружность?
2. Найдите минимум отношения стороны $BC$ к стороне $AD$.
Ответ:
Решение:
Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник $ABCD$ с наименьшим периметром, в котором $BC=CD=AD$ и все попарные расстояния между точками $A$, $B$, $C$ и $D$ выражаются целыми числами. Чему равна площадь этого четырёхугольника?
Ответ:
Решение:
Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник $ABCD$ с наименьшим периметром, в котором $AB=BC=CD$ и все попарные расстояния между точками $A$, $B$, $C$ и $D$ выражаются целыми числами. Чему при этом равен радиус описанной вокруг $ABCD$ окружности?
Ответ:
Решение:
Через каждую вершину четырёхугольника проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырёхугольника на две равновеликие части.
а) Докажите, что и четвёртая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырёхугольника, если один из них равен $72^\circ$?
а) Докажите, что и четвёртая прямая обладает тем же свойством.
б) Какие значения могут принимать углы этого четырёхугольника, если один из них равен $72^\circ$?
Ответ:
Решение:
Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$ — в точке $Q$. Докажите, что $|AD-CD|\geqslant|r_1-r_2|$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=3$, $BC=4$, $CD=6$ и $AD=2$ вписан в окружность. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а прямые $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $F$. Биссектриса угла $CFD$ пересекает стороны $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $L$ соответственно, а биссектриса угла $BEC$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$ и площадь четырёхугольника $KMLN$.
Ответ:
Решение:
На плоскости даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_1$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_2$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.
Ответ:
Решение:
Отметьте на одной прямой четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ так, чтобы расстояние между точками $A$ и $B$ было равно 10 см, между $A$ и $C$ — 3 см, между $B$ и $D$ — 5 см, а между $D$ и $C$ — 8 см.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости есть точки, координаты $(x,y)$ которых удовлетворяют уравнению $y(x+1)=x^2-1$. Например, одна из них — точка с координатами $(1,0)$. Изобразите все точки, координаты $(x,y)$ которых удовлетворяют этому уравнению.
Ответ:
Решение:
Постройте график уравнения \[ x^2-y^4=\sqrt{18x-x^2-81}\,, \] то есть изобразите на координатной плоскости все точки, координаты $(x,y)$ которых удовлетворяют этому уравнению.
Ответ:
Решение:
На плоскости дан квадрат $ABCD$ со стороной 1 и точка $X$ (см. рисунок). Известно, что $XA=\sqrt{5}$, $XC=\sqrt{7}$. Чему равно $XB$?
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$. Найдите какие-нибудь семь попарно неравных векторов с концами и началами в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $O$, сумма которых равна нулевому вектору. Объясните свой ответ.
Ответ:
Решение:
На плоскости отметили точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ так, что треугольники $ABC$ и $ADE$ равны: $AB=AD$, $AC=AE$, $BC=DE$. Затем с чертежа стёрли точку $E$ и подписи точек $B$, $C$ и $D$.
Пусть точка $E$ имела координаты $(x;y)$.
1. Укажите любое возможное значение величины $xy$.
2. Укажите все возможные значения величины $xy$.
Пусть точка $E$ имела координаты $(x;y)$.
1. Укажите любое возможное значение величины $xy$.
2. Укажите все возможные значения величины $xy$.
Ответ:
Решение:
Для каждой пары различных натуральных чисел $a$ и $b$, не больших 20, Петя нарисовал на доске прямую $y=ax+b$ (то есть он нарисовал прямые \[\begin{gathered} y=x+2,\quad \ldots,\quad y=x+20,\\ y=2x+1,\quad y=2x+3,\quad \ldots,\quad y=2x+20,\\ y=3x+1,\quad y=3x+2,\quad y=3x+4,\quad \ldots,\quad y=3x+20,\\ \ldots,\\ y=20x+1,\quad \ldots,\quad y=20x+19). \end{gathered}\] Вася нарисовал на той же доске окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Сколько Петиных прямых пересекает Васину окружность?
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости проведена прямая $ax+by+c=0$, где $a$, $b$, $c$ — некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности $x^2+y^2=1$. Докажите, что если взять три отрезка с длинами $a$, $b$, $c$, то из них можно сложить прямоугольный треугольник.
Ответ:
Решение: