Готовые варианты контрольных — за минуты

Коле вдвое больше лет, чем было Оле, когда Коле было столько лет, сколько сейчас Оле. А когда Оле будет столько лет, сколько сейчас Коле, то им в сумме будет 36 лет. Сколько лет Коле сейчас?

Часы Безумного Шляпника спешат на 15 минут в час, а часы Мартовского Зайца отстают на 10 минут в час. Однажды они поставили свои часы по часам Сони (которые остановились и всегда показывают 12:00) и договорились собраться в 5 часов вечера на традиционный файв-о-клок. Сколько времени Безумный Шляпник будет ждать Мартовского Зайца, если каждый приходит ровно в 17:00 по своим часам?

Петины часы спешат на 5 минут в час, а Машины — отстают на 8 минут в час. В 12:00 они поставили свои часы по школьным часам (которые идут точно) и договорились в полседьмого пойти вместе на каток. Сколько времени Петя будет ждать Машу, если каждый приходит на каток ровно в 18:30 по своим часам?

В магазине 5 килограммов моркови стоят столько же, сколько 4 килограмма свёклы и 1 килограмм картофеля. Известно, что если купить по 6 килограммов самого дорогого и самого дешёвого из этих овощей и добавить к этой покупке 2 килограмма моркови и 3 килограмма картофеля, то стоимость этого набора овощей будет равна стоимости 19 килограммов моркови. Определите стоимость килограмма картофеля, если известно, что килограмм самого дорогого из овощей стоит на 10 рублей больше килограмма самого дешёвого.

Время работы ноутбука от батареи обратно пропорционально мощности, потребляемой всеми его компонентами. Если ноутбук полностью заряжен, то он проработает с максимальной яркостью экрана $4$ часа. При этом $2/3$ мощности потребляет экран. Вася использует ноутбук следующим образом: каждый раз, когда батарея разряжается на очередные $25\%$ от изначального значения (то есть достигает уровня $75\%$, $50\%$, $25\%$), он уменьшает яркость экрана на $25\%$ (от первоначального значения яркости). Сколько времени ему удастся проработать за ноутбуком? Мощность, потребляемая экраном, прямо пропорциональна яркости экрана. Ответ выразите в часах и при необходимости округлите до трёх знаков после запятой.

Петя посмотрел на свои часы и обнаружил, что часовая и минутная стрелки составляют $\alpha^\circ$. Спустя час угол между стрелками не изменился. Найти значения $\alpha^\circ$, при котором такое возможно.

У Маши есть два разных стакана цилиндрической формы. Она заметила, что пакет муки можно так высыпать в эти стаканы, что уровень муки в первом стакане составит 12 см, а во втором — 10 см, или так, что уровень муки в первом стакане составит 9 см, а во втором — 12 см. На каком уровне окажется мука в каждом из этих стаканов, если муку из пакета высыпать в стаканы поровну?

Бабушка читает незнакомую ей книгу из 970 страниц. Незнакомый текст она читает со скоростью 10 страниц в час, а прочитанный ранее — со скоростью 20 страниц в час. Пока книга не прочитана, бабушка читает её ежедневно по 5 часов с того места, где лежит закладка, и оставляет закладку там, где закончила чтение. В какой день недели бабушка прочтёт книгу до конца, если первые страницы она прочла в понедельник, а каждую ночь её внук переносит закладку на 20 страниц назад?

На первом складе в каждом ящике в среднем по $3$ бракованных изделия, а на втором складе — по $6$. С первого склада на второй перевезли $50$ ящиков, и среднее количество бракованных изделий в ящике на каждом из складов уменьшилось на $1$. Сколько всего ящиков на двух складах?

Мешок Деда Мороза вмещает ровно 160 подарков для мальчиков или ровно 120 подарков для девочек. Подарки состоят из конфет. Если мешок заполнить таким образом, что суммарное число конфет в подарках для мальчиков было равно общему числу конфет в подарках для девочек, то всего в мешке будет 140 подарков и в них 4320 конфет. На сколько больше конфет было в подарке для девочек, чем в подарке для мальчиков?

В кружке «Неумелые руки» методом тяп-ляп изготовили несбалансированные рычажные весы с плечами разной длины и чашами с разным собственным весом. В результате четырех взвешиваний на этих весах были получены следующие «равновесия»:

• [слева 3 кг = справа дыня];
• [слева 5 кг = справа арбуз];
• [слева дыня = справа 5,5 кг];
• [слева арбуз = справа 10 кг].

Каков истинный вес (масса) дыни и арбуза?

Скорость парома линейно зависит от веса переправляемого груза так, что при нагрузке в 50 тонн скорость на 10% больше, чем при нагрузке в 60 тонн. При нагрузке в 70 тонн скорость парома равна 6 км/ч. Найдите скорость парома при наибольшем грузообороте. Грузооборотом называется произведение скорости (в км/ч) парома на вес перевозимого груза (в тоннах).

В турнире по волейболу принимаются ставки на четыре команды. На первую команду ставки принимаются в соотношении $1:2$ (при выигрыше первой команды игрок получает сумму, которую он поставил на эту команду, и плюс двукратную сумму, т. е. получает в три раза больше поставленных денег, а при проигрыше деньги не возвращаются). На вторую команду ставки принимаются в соотношении $1:4$, на третью — $1:5$, на четвёртую — $1:6$. Можно ли так поставить, чтобы выиграть при любом исходе турнира?

В турнире по мини-футболу принимаются ставки на четыре команды. На первую команду ставки принимаются в соотношении $1:5$ (при выигрыше первой команды игрок получает сумму, которую он поставил на эту команду, и плюс пятикратную сумму, т. е. получает в шесть раз больше поставленных денег, а при проигрыше деньги не возвращаются). На вторую команду ставки принимаются в соотношении $1:1$, на третью — $1:8$, на четвертую — $1:7$. Можно ли так поставить, чтобы выиграть при любом исходе турнира?

В хирургическом отделении 4 операционных: I, II, III и IV. Утром они все были пусты. В какой-то момент началась операция в операционной I, через некоторое время — в операционной II, ещё через некоторое время — в III, а потом и в IV.
Закончились все четыре операции одновременно, и суммарная их продолжительность составила 2 часа 32 минуты. За 30 минут до момента завершения всех операций суммарная продолжительность уже идущих составляла 52 минуты, а ещё за 10 минут до этого — 30 минут. Продолжительности операций в каких операционных можно определить по этим данным, а в каких — нельзя?

Два пирата делили добычу, состоящую из пяти золотых слитков, масса одного из которых $1$ кг, а другого — $2$ кг. Какую массу могли иметь три других слитка, если известно, что какие бы два слитка ни выбрал себе первый пират, второй пират сможет так разделить оставшиеся слитки, чтобы каждому из них досталось золота поровну?

Спутник связи движется по круговой орбите вокруг Земли (имеет форму шара) на высоте $H$, равной радиусу Земли $R=6372$ км, с периодом обращения $T=4$ ч и постоянной угловой скоростью $\omega=\frac{2\pi}{T}$.
Для того, чтобы в центре управления полетами (ЦУП) можно было получать сигнал от спутника (иметь окно для связи), он должен находиться выше плоскости горизонта ЦУПа. Определите количество окон для связи ЦУПа со спутником в течение суток и общую продолжительность этих окон, если траектория полета спутника проходит ровно над ЦУПом.

Для получения фотоснимков небесных тел используются космические зонды — автономные роботы, оснащенные ракетными двигателями, собственными энергетическими установками, системами радиосвязи и навигации, научными приборами. И все это управляется бортовыми компьютерами. Например, благодаря таким зондам успешно выполнена программа исследования Сатурна и его крупнейшего спутника Титана, удивительно похожего на Землю. При изучении одного из спутников Сатурна с радиусом орбиты $R\approx 1{,}2\cdot10^5$ км возникла нештатная ситуация: при пролете зонда сквозь плоскость колец Сатурна бортовая поворотная платформа с телекамерами была заклинена частицами этих колец. В результате смогли получить четкие снимки только одной стороны спутника. Для получения снимков обратной стороны спутника было принято решение продолжить полет зонда и встретить спутник в другой точке пространства, для чего пришлось скорректировать скорость движения зонда.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Траекторию движения спутника (орбиту) вокруг Сатурна (точка $O$) считаем круговой с радиусом $R=1{,}2\cdot10^5$ км, скорость движения спутника постоянна и равна $V_T=3{,}27$ км/с. Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна $V_1=6$ км/с, а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках $C$ и $D$. Согласно заложенной программе, съемка поверхности спутника зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой спутника (точки $C$ и $D$). Когда спутник (точка $S$) оказывается строго на прямой между центром Сатурна (точка $O$) и подзондовой точкой (точка $B$), запускается таймер ($t_0=0$). При этом спутник и подзондовая точка встречаются в точке $C$ через время $t=2\cdot10^4$ с. После съемки над точкой $C$ скорость зонда меняется так, чтобы над точкой $D$ оказаться одновременно со спутником для фотографирования его обратной стороны. Скорость подзондовой точки на участке $CD$ постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и спутником (считая его материальной точкой) в начальный момент времени $t_0$, а также скорость подзондовой точки $V_2$ на участке $CD$. В расчетах используйте приближенные значения скорости спутника и числа $\pi$ — округлите их до целых значений.

Астрономы обнаружили за планетой Сатурн новое небесное тело, движущееся по круговой орбите, для изучения которого был направлен научно-исследовательский зонд — автономный робот, оснащенный ракетными двигателями, собственной энергетической установкой, системами радиосвязи и навигации, научными приборами, фото- и видеотехникой. И все это управляется бортовыми компьютерами. Для изучения найденного объекта было принято решение произвести фотосъемку в двух точках его орбиты. После съемок в первой точке, потребовалось скорректировать скорость движения зонда, чтобы иметь возможность сделать еще один фотоснимок небесного тела в другой точке его орбиты.
Рассмотрим упрощенную модель возникшей ситуации. Считаем изучаемый объект (небесное тело) и исследовательский зонд материальными точками, небесное тело движется по круговой орбите с центром в точке $O$ и радиусом $R=1{,}2\cdot10^6$ км с постоянной угловой скоростью $\omega=0{,}25\cdot10^{-5}$ рад/с. Проекцию зонда на плоскость орбиты назовем подзондовой точкой. Скорость движения подзондовой точки постоянна и равна $V_1$, а ее траекторию в плоскости орбиты условно считаем прямой, пересекающей окружность в точках $P$ и $K$. Согласно заложенной программе, съемка небесного тела зондом осуществляется в моменты их наибольшего сближения, которые соответствуют моментам пересечения траектории подзондовой точки с орбитой тела (точки $P$ и $K$). Когда небесное тело (точка $T$) оказывается строго на прямой между точкой $O$ и подзондовой точкой (точка $Z$), запускается таймер ($t_0=0$). В точке $P$ небесное тело и подзондовая точка находятся в одно и тоже время, и осуществляется съемка, после чего скорость зонда меняется так, чтобы над точкой $K$ вновь оказаться одновременно с телом для его повторного фотографирования. Скорость подзондовой точки на участке $PK$ постоянна.
Определите расстояние между подзондовой точкой и изучаемым телом в начальный момент времени $t_0$, а также скорость подзондовой точки $V_2$ на участке $PK$, если центральный угол $POK$ равен углу $PZO$ и в полтора раза меньше центрального угла $POT$. В расчетах используйте приближенное значение числа $\pi$ — округлите его до целого значения.

Сколько раз за сутки секундная и минутная стрелки часов образуют с часовой стрелкой угол в $30^\circ$? (сутки начинаются в полночь).