Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 2\sin x+\sin^2 y-\sin^2 x\cos^2 y=1, \\ 2\cos^2 x+4\sin x-\cos^3 y=5. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} \mathrm{tg}^2\,\pi(x-y)+\mathrm{ctg}^2\,\pi(x-y)=\sqrt{\dfrac{2x}{x^2+1}}+1, \\ x^2+y^2\leqslant 10. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4\cos^2 2x\cdot\sin^2\dfrac x3+4\sin\dfrac x3-4\sin^2 2x\cdot\sin\dfrac x3+1=0,\\ \sin\dfrac x2+\sqrt{\cos y}=0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ \dfrac{2\operatorname{tg}^4 6x+4\sin4x\sin8x-\cos8x-\cos16x+2}{\sqrt{\cos x-\sqrt3\sin x}}=0. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решить уравнение \[\left(\sqrt3\cos 2x+\sin 2x\right)^2=7+3\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right).\]
Ответ:
Решение:
При каком значении $a$ уравнение $|\sin(2x-y)|+|\cos(x+2y)|+1=\frac{2a}{a^2+1}$ имеет решение? Найти эти решения. Найти минимальное $R$, при котором любой круг радиуса $R$ на плоскости содержит хотя бы одну точку с координатами $(x;y)$ — решениями уравнения.
Ответ:
Решение:
Решите систему \[\begin{cases}4\cos^2x+\cos^25y=4\cos x\cos^65y,\\ \lg(x-y)^2\lt 2\lg(2\pi)-\lg5-\lg45.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найдите сумму первых ста положительных корней уравнения \[ \cos(8\pi x)+2\cos(4\pi x)-\cos(2\pi x)+2\sin(\pi x)+3=0. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение $|x-y|$ при условии \[ \left(\cos^4 x+1\right)\left(4\cos^4 y+1\right)=8\cos^3 x\cos^2 y,\quad x\in[\pi;2\pi],\quad y\in\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]. \]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \left|\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right|=-\sqrt2\cos y,\\ \cos2y+2\sin2x+\dfrac34=2\sin^32x. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти наименьшее натуральное число $n$, при котором выполняется равенство \[ \sin\left(n^\circ+80^\circ\right)+\sin\left(n^\circ-40^\circ\right)+\sin\left(n^\circ+70^\circ\right)-\cos25^\circ=0. \]
Ответ:
Решение:
Найдите количество целочисленных решений системы неравенств \[ \begin{cases} (x-0{,}3)^2\leqslant 440,\\ \sin x\geqslant 0. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
а) Найдите все пары действительных чисел $(x;y)$ такие, что \[ (\sin\pi x+\sin\pi y)\sin\pi x=(\cos\pi x+\cos\pi y)\cos\pi x. \]
б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству \[ \arcsin\dfrac{x}{5}+\arccos\dfrac{y}{4}\lt \dfrac{3\pi}{2}? \]
б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству \[ \arcsin\dfrac{x}{5}+\arccos\dfrac{y}{4}\lt \dfrac{3\pi}{2}? \]
Ответ:
Решение:
При каких целых $n$ выражение $6\sin\dfrac{5\pi n}{12}+\sin\dfrac{5\pi n}{4}$ принимает наибольшее возможное значение?
Ответ:
Решение:
Целое число $n$ таково, что $\cos\dfrac{(2n^2+n+1)\pi}{2}=1$, а уравнение $\sin x\cdot\sin 5x\cdot\sin nx=1$ имеет решение. Найти все такие $n$.
Ответ:
Решение: