Можно ли:
а) нагрузить две монеты так, чтобы вероятности выпадения «орла» и «решки» были разные, а вероятности выпадения любой из комбинаций «решка, решка», «орел, решка», «орел, орел» были бы одинаковы?
б) нагрузить две кости так, чтобы вероятность выпадения любой суммы от 2 до 12 была одинаковой?
а) нагрузить две монеты так, чтобы вероятности выпадения «орла» и «решки» были разные, а вероятности выпадения любой из комбинаций «решка, решка», «орел, решка», «орел, орел» были бы одинаковы?
б) нагрузить две кости так, чтобы вероятность выпадения любой суммы от 2 до 12 была одинаковой?
Ответ:
Решение:
Футбольный матч продолжается 90 минут. Ничья возможна. Что более вероятно в таком матче: что общее число заброшенных мячей будет четным или что оно окажется нечетным?
Ответ:
Решение:
Митя, Ваня и Дима бросили монету по $2n$ раз. Известно, что у Мити и Вани орлов случилось поровну. Что более вероятно: событие $A$ «у Димы выпало ровно $n$ орлов» или событие $B$ «у Мити выпало ровно $n$ орлов»? Если события не равновероятны, то во сколько раз одно из этих событий вероятнее другого?
Ответ:
Решение:
Женщина, работающая кассиром в железнодорожной кассе, увидела, что перед окошком нет покупателей, вздохнула, повесила объявление «Технический перерыв 15 минут» и ушла ровно на 15 минут. Когда Рассеянный Ученый подошел к кассе, он увидел, что перед ним в очереди уже пять желающих приобрести билет и покорно ждущих, когда окошко откроется. Какова вероятность того, что касса откроется не позже, чем через 3 минуты после прихода Ученого?
Ответ:
Решение:
У охотника есть две собаки. Однажды, заблудившись в лесу, он вышел на развилку. Охотник знает, что каждая из собак с вероятностью $p$ выберет дорогу домой. Он решил выпустить собак по очереди. Если обе выберут одну и ту же дорогу, он пойдет за ними; если же они разделятся, охотник выберет дорогу, кинув монетку. Увеличит ли таким способом охотник свои шансы выбрать дорогу домой, по сравнению с тем, как если бы у него была одна собака?
Ответ:
Решение:
На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие.
а) Кнопка со знаком умножения $\langle\times\rangle$ сломалась и не работает. Рассеянный Учёный нажал несколько кнопок в случайной последовательности. Какой результат получившейся цепочки действий более вероятен — четное число или нечетное?
б) Решите предыдущую задачу, если кнопку со знаком умножения починили.
а) Кнопка со знаком умножения $\langle\times\rangle$ сломалась и не работает. Рассеянный Учёный нажал несколько кнопок в случайной последовательности. Какой результат получившейся цепочки действий более вероятен — четное число или нечетное?
б) Решите предыдущую задачу, если кнопку со знаком умножения починили.
Ответ:
Решение:
У Рассеянного Ученого болела коленка. Доктор прописал ему 10 пилюль от коленок: принимать по одной пилюле ежедневно. Пилюли помогают в 90 % случаев, а в 2 % случаев наблюдается побочное действие — исчезает рассеянность, если была.
Другой доктор прописал Ученому пилюли от рассеянности — тоже по одной в день 10 дней подряд. Эти пилюли излечивают рассеянность в 80 % случаев, но в 5 % случаев есть побочный эффект — перестают болеть коленки.
Баночки с пилюлями похожи, и когда Ученый уехал в десятидневную командировку, он взял с собой одну баночку, но совершенно не обратил внимания — какую. Десять дней он принимал по пилюле в день и вернулся совершенно здоровым. И рассеянность прошла, и коленка не болит. Найдите вероятность того, что Ученый взял с собой пилюли от рассеянности.
Другой доктор прописал Ученому пилюли от рассеянности — тоже по одной в день 10 дней подряд. Эти пилюли излечивают рассеянность в 80 % случаев, но в 5 % случаев есть побочный эффект — перестают болеть коленки.
Баночки с пилюлями похожи, и когда Ученый уехал в десятидневную командировку, он взял с собой одну баночку, но совершенно не обратил внимания — какую. Десять дней он принимал по пилюле в день и вернулся совершенно здоровым. И рассеянность прошла, и коленка не болит. Найдите вероятность того, что Ученый взял с собой пилюли от рассеянности.
Ответ:
Решение:
Гневные отзывы о работе интернет-магазина оставляют 80 % недовольных покупателей (тех, кого плохо обслужили в магазине). Из числа довольных покупателей положительный отзыв оставляют только 15 %. Некоторый интернет-магазин заработал 60 гневных и 20 положительных отзывов. Пользуясь этой статистикой, оцените вероятность того, что очередной покупатель останется доволен обслуживанием в этом интернет-магазине.
Ответ:
Решение:
У Билли Бонса есть две монеты — золотая и серебряная. Одна из них симметричная, а другая — нет. Неизвестно, какая именно монета несимметрична, но известно, что несимметричная монета выпадает орлом с вероятностью $p=0{,}6$.
Билли Бонс бросил золотую монету, и сразу выпал орёл. Тогда Билли Бонс стал бросать серебряную монету, и орёл выпал только со второго броска. Найдите вероятность того, что несимметричной является золотая монета.
Билли Бонс бросил золотую монету, и сразу выпал орёл. Тогда Билли Бонс стал бросать серебряную монету, и орёл выпал только со второго броска. Найдите вероятность того, что несимметричной является золотая монета.
Ответ:
Решение:
Будем считать, что среди восьмиклассников имя Александр встречается в три раза чаще, чем имя Александра, Евгениев втрое меньше, чем Евгений, Валентинов в полтора раза больше, чем Валентин, а Василиев в 49 раз больше, чем Василис. Однажды совершенно случайно выбранная четверка восьмиклассников, про которых мы знаем только, что их зовут Саша, Женя, Валя и Вася, бросали жребий. Найдите вероятность того, что жребий выиграла восьмиклассница, а не восьмиклассник.
Ответ:
Решение:
Простоквашинская телефонная компания «Просто-Телеком» использует трёхзначные телефонные номера. Оборудование старое, поэтому при соединении возможны ошибки в отдельных цифрах передаваемого номера абонента — каждая цифра независимо от других с вероятностью $p=0{,}02$ может быть заменена какой-то другой случайной цифрой. Для уменьшения вероятности неверного соединения компания использует следующее правило: первая цифра номера всегда равна остатку от деления на 10 суммы двух остальных цифр. Например, возможны номера 000 и 156, а номер 234 невозможен. Если при соединении контрольная цифра неверная, выдаётся сообщение об ошибке. Найдите вероятность того, что, несмотря на принятые меры, ошибочное соединение состоится.
Ответ:
Решение:
Ровно половина населения острова Невезения — зайцы, а все остальные — кролики. Если житель острова Невезения что-нибудь утверждает, он всегда искренне верит в то, что говорит. При этом зайцы добросовестно заблуждаются в среднем в каждом четвертом случае, а кролики добросовестно заблуждаются в среднем в каждом третьем случае. Однажды в центр острова вышел зверь и закричал: «Я не заяц!». Подумал и грустно сказал: «Я не кролик». Какова вероятность того, что он все же заяц?
Ответ:
Решение:
Дни в Анчурии бывают ясные и дождливые, причём вероятность ясного дня равна 0,74 независимо от времени года. В парламенте Анчурии есть комитет по климату и прогнозам, где работают два сенатора и один приглашённый синоптик. Известно, что доля верных прогнозов ясных дней у каждого из трёх такая же, как и доля верных прогнозов дождливых. Но у синоптика эта доля на 50 % выше, чем у каждого из сенаторов.
Однажды все трое независимо друг от друга сделали прогноз на приближающийся День Великого Народного Ликования. Оба сенатора заявили, что этот день будет ясный, а синоптик предсказал дождь. На какой прогноз лучше полагаться?
Однажды все трое независимо друг от друга сделали прогноз на приближающийся День Великого Народного Ликования. Оба сенатора заявили, что этот день будет ясный, а синоптик предсказал дождь. На какой прогноз лучше полагаться?
Ответ:
Решение:
Каждую пятницу десять джентльменов приходят в клуб, и каждый отдает швейцару свою шляпу. Каждая шляпа точно впору своему хозяину, но двух одинаковых по размеру шляп нет. Уходят джентльмены по одному в случайном порядке.
Провожая очередного джентльмена, швейцар клуба пробует надеть ему на голову первую попавшуюся шляпу. Если налезает, джентльмен уходит в этой шляпе. Если мала, то швейцар пробует следующую случайную шляпу из оставшихся. Если все оставшиеся шляпы оказались малы, швейцар говорит бедняге: «Сэр, сегодня шляпа вам не к лицу», и джентльмен отправляется домой с непокрытой головой. Найдите вероятность того, что в следующую пятницу у швейцара не останется ни одной шляпы.
Провожая очередного джентльмена, швейцар клуба пробует надеть ему на голову первую попавшуюся шляпу. Если налезает, джентльмен уходит в этой шляпе. Если мала, то швейцар пробует следующую случайную шляпу из оставшихся. Если все оставшиеся шляпы оказались малы, швейцар говорит бедняге: «Сэр, сегодня шляпа вам не к лицу», и джентльмен отправляется домой с непокрытой головой. Найдите вероятность того, что в следующую пятницу у швейцара не останется ни одной шляпы.
Ответ:
Решение:
Кролики бывают гладкошёрстные и мохнатые. Тип шерсти определяется генами, унаследованными от родителей. Каждый кролик имеет два аллеля одного и того же гена, отвечающего за тип шерсти. Аллель мохнатости обозначим $H$ (или $h$), а аллель гладкошёрстности обозначим $S$ (или $s$). Если у кролика разные аллели, то всё зависит от того, какой аллель доминантный (подавляющий), а какой — рецессивный (подавляемый). Большие буквы используем для доминантных аллелей, а малые — для рецессивных. Таким образом, если генотип (комбинация аллелей) $Hs$, то кролик будет мохнатым, несмотря на наличие аллеля гладкошёрстности. Если генотип $hS$, то кролик гладкошёрстный. Каждый из родителей передает детёнышу один из своих аллелей. Например, если отец имел генотип $hh$, а мать — генотип $hS$, то детёныш может получить от отца только аллель $h$, а от матери с равными шансами любой из аллелей $h$ и $S$. Поэтому с вероятностью 0,5 у детёныша будет генотип $hh$ и с такой же вероятностью 0,5 будет генотип $hS$ (мы считаем, что доминантность или рецессивность аллелей не связаны с полом кролика).
Известно, что в некоторой популяции кроликов аллель мохнатости встречается с вероятностью $p=0{,}1$. Однажды в этой популяции при скрещивании мохнатого кролика с гладкошерстной крольчихой все четыре крольчонка оказались мохнатыми. Какой генотип наиболее вероятен у родителей этих крольчат?
Известно, что в некоторой популяции кроликов аллель мохнатости встречается с вероятностью $p=0{,}1$. Однажды в этой популяции при скрещивании мохнатого кролика с гладкошерстной крольчихой все четыре крольчонка оказались мохнатыми. Какой генотип наиболее вероятен у родителей этих крольчат?
Ответ:
Решение:
В стране $n\gt 100$ городов и пока нет дорог. Правительство наугад определяет стоимость строительства дороги (с двусторонним движением) между каждыми двумя городами, используя по разу все суммы от 1 до $n(n-1)/2$ талеров (все варианты равновероятны). Мэр каждого города выбирает самую дешёвую из $n-1$ возможных дорог, идущих из этого города, и она строится (это может быть взаимным желанием мэров обоих соединяемых городов или только одного из двух).
После строительства этих дорог города оказываются разбиты на $M$ компонент связности (между городами одной компоненты связности можно добраться по построенным дорогам, возможно, с пересадками, а между городами разных компонент — нельзя). Найдите математическое ожидание случайной величины $M$.
После строительства этих дорог города оказываются разбиты на $M$ компонент связности (между городами одной компоненты связности можно добраться по построенным дорогам, возможно, с пересадками, а между городами разных компонент — нельзя). Найдите математическое ожидание случайной величины $M$.
Ответ:
Решение:
Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что произведение чисел на карточках — простое число.
Ответ:
Решение:
У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 3, 5, 7, 8. Он случайным образом составляет из них число вида \[\overline{ab}^{\,\overline{cd}}.\] С какой вероятностью это число делится на 3? Выражение $\overline{ab}$ обозначает двухзначное число, состоящее из цифр $a$ и $b$.
Ответ:
Решение:
По зову дядьки Черномора явились 33 богатыря: каждый либо пешком, либо на коне. Каждый приехавший на коне богатырь взял с собой копьё. Пешком пришли 11 богатырей, а копьё не взяли 3 богатыря. На сколько число пеших богатырей с копьём меньше, чем богатырей, приехавших на коне?
Ответ:
Решение:
Шестнадцать мальчишек собрались на рыбалку. Известно, что каждый мальчишка, который надел сапоги, надел и кепку. Без сапог оказалось 10 мальчишек, а без кепки — двое. Каких мальчишек и на сколько больше: тех, кто был в кепке, но без сапог, или тех, кто надел сапоги? Обязательно объясните свой ответ.
Ответ:
Решение: