Игральный кубик подбрасывают дважды, при этом вычисляют и записывают сумму выпавших очков. Такую процедуру повторяют три раза (всего совершают шесть подбрасываний). Найдите вероятность того, что только одна из трех записанных сумм кратна трем.
Ответ:
Решение:
Саша и Маша задают друг другу по пять каверзных вопросов и отвечают на них, не задумываясь, случайным образом. Вероятность того, что на заданный Машей вопрос Саша скажет неправду, не зависит от номера вопроса и равна $\frac12$. Маша на вопрос Саши дает правдивый ответ с вероятностью $\frac23$ независимо от порядка вопроса. После окончания диалога выяснилось, что Маша дала на два правдивых ответа больше, чем Саша. С какой вероятностью это могло произойти?
Ответ:
Решение:
Дима посадил в центре прямоугольного листа бумаги размером 15 см на 20 см круглую кляксу радиусом 2 см. Сразу после этого Дима посадил ещё одну такую кляксу, которая также целиком оказалась на листе. Найдите вероятность того, что эти две кляксы пересекаются.
Ответ:
Решение:
На окружности совершенно случайно взяты три точки $A$, $B$ и $C$. Найти вероятность того, что треугольник $ABC$ тупоугольный.
Ответ:
Решение:
В квадрате $ABCD$ со стороной 4 расположена точка $O$, отстоящая от сторон $AD$ и $CD$ на расстояние 1. Через точку $O$ совершенно случайно проведена прямая $L$, разделяющая квадрат на две части. Найти вероятность того, что одна из частей будет иметь площадь, не превосходящую 3.
Ответ:
Решение:
На сторонах $BA$ и $BC$ треугольника $ABC$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$. Найти вероятность того, что площадь треугольника $BMN$ окажется не больше половины площади треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На боковых ребрах $DA$ и $DB$ правильной треугольной пирамиды $ABCD$ совершенно случайно взяты точки $M$ и $N$. Найти вероятность того, что площадь боковой поверхности пирамиды $MNCD$ с вершиной в точке $D$ составляет не более половины площади боковой поверхности пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Точки $P$, $Q$ расположены на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ так, что $AP:PB=2:1$, $AQ:QC=1:3$. Точка $M$ выбрана на стороне $BC$ совершенно случайно. Найти вероятность того, что площадь треугольника $ABC$ превосходит площадь треугольника $PQM$ не более, чем в три раза. Найти математическое ожидание случайной величины — отношения площадей треугольников $PQM$ и $ABC$.
Ответ:
Решение:
Ксюша, Ваня и Вася решили пойти в кино. Они договорились встретиться на автобусной остановке, но не знают, кто во сколько придёт. Каждый из них может прийти в случайный момент времени с 14.00 до 15.00. Вася самый терпеливый: если он придёт и на остановке не будет ни Ксюши, ни Вани, то он будет ждать кого-нибудь из них 20 минут, и если никого не дождётся, то пойдет в кино один. Ваня менее терпеливый: он будет ждать лишь 10 минут. Ксюша самая нетерпеливая: она вообще не будет ждать. Однако если Ваня и Вася встретятся, то они будут ждать Ксюшу до 15.00. Определить вероятность того, что в кино они пойдут все вместе.
Ответ:
Решение:
Ваня и Дима пошли на рынок. У Вани было 1000 рублей, а у Димы — 2000 рублей. Они покупали что-то независимо друг от друга, а в какой-то момент они встретились и решили купить модель танка за 1800 рублей. Найдите вероятность того, что оставшейся у них суммы хватит на это.
Ответ:
Решение:
Игральная кость имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с двугранным углом $60^\circ$ при основании. На боковых гранях пирамиды нарисованы цифры от 1 до 4, на основании — 5. Вероятность того, что при бросании кость ляжет на плоскость, закрывая определенную цифру, пропорциональна площади грани или основания с этой цифрой. Найти вероятность того, что сумма цифр, закрытых костью при трех бросаниях, равна 13.
Ответ:
Решение:
Петя и Вася играют в кубики. За один ход Петя бросает правильный 12-гранник (додекаэдр) с числами $1, 2, \ldots, 12$ на гранях. За один ход Вася бросает два кубика (гексаэдра) с числами $1, 2, \ldots, 6$ на гранях и складывает два выпавших на них числа. Побеждает тот игрок, у кого больше очков. Второй ход делается только в случае равного количества очков. Если победитель опять не выявлен, делается третий ход. После этого игра заканчивается в любом случае.
а) Какова вероятность, что Петя выиграет уже после первого хода?
б) Какова вероятность того, что победитель так и не будет выявлен?
в) У кого из игроков вероятность выиграть больше, и чему она равна?
а) Какова вероятность, что Петя выиграет уже после первого хода?
б) Какова вероятность того, что победитель так и не будет выявлен?
в) У кого из игроков вероятность выиграть больше, и чему она равна?
Ответ:
Решение:
Поля и Оля играют в кубики. За один ход Поля бросает правильный 12-гранник (додекаэдр) с числами $1,2,\ldots,12$ на гранях. За один ход Оля бросает два кубика (гексаэдра) с числами $1,2,\ldots,6$ на гранях и складывает два выпавших на них числа. Побеждает тот игрок, у кого больше очков. Второй ход делается только в случае равного количества очков. Если победитель опять не выявлен, делается третий ход. После этого игра заканчивается в любом случае.
а) Какова вероятность, что Поля выиграет уже после первого хода?
б) Какова вероятность того, что победитель так и не будет выявлен?
в) У кого из игроков вероятность выиграть больше, и чему она равна?
а) Какова вероятность, что Поля выиграет уже после первого хода?
б) Какова вероятность того, что победитель так и не будет выявлен?
в) У кого из игроков вероятность выиграть больше, и чему она равна?
Ответ:
Решение:
Каждая из двух корзин содержит белые и черные шары, причем общее число шаров в обеих корзинах равно 25. Из каждой корзины наугад вынимают по одному шару. Известно, что вероятность того, что оба вынутых шара окажутся белыми, равна 0,54. Найти вероятность того, что оба вынутых шара окажутся черными.
Ответ:
Решение:
Тест состоит из вопросов с 4 вариантами ответа, только один ответ на каждый вопрос — правильный. С вероятностью $2/3$ Илья знает правильный ответ на вопрос, в противном случае он отмечает случайный вариант ответа. Если на какой-то вопрос Илья дал верный ответ, с какой вероятностью ответ на этот вопрос он отгадал? (Ответ округлите до сотых.)
Ответ:
Решение:
Маша и Саша играют в следующую игру. Несколько раз бросается симметричный кубик. Его грани пронумерованы натуральными числами от $1$ до $6$, а выпадение любой грани равновероятно. Маша побеждает при выпадении подряд двух шестёрок, а Саша — при выпадении подряд двух нечётных цифр. Какова вероятность того, что Маша победила, если известно, что игра закончилась за четыре хода? Ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Петя бросает несколько раз на стол игральный кубик и считает сумму очков, выпавших на его верхней грани. Для любого натурального числа $n$ событие $A_n$ наступает, если эта сумма равна $n$. Найти вероятность события $A_{11}$.
Ответ:
Решение:
В классе проходят выборы старосты. На должность претендует три кандидата — Алексей, Сергей и Даша. Всего в классе 20 человек, сами кандидаты не могут голосовать. Вероятность получения каждого голоса для всех кандидатов одинакова. Найдите вероятность, что Сергею удастся набрать 8 голосов. Результат округлите до сотых.
Ответ:
Решение:
Петя и Вова играют в кости на фантики. Ведущий игру Петя выигрывает, если при бросании им двух игральных кубиков сумма выпавших на них очков не превосходит 4 и проигрывает во всех остальных случаях. Проиграв, Петя отдаёт Вове 1 фантик, выиграв — получает от Вовы $k$ фантиков. Игра считается справедливой, если среднее значение выигрыша каждым игроком равна нулю. Найти значение $k$, при котором игра будет справедливой?
Ответ:
Решение:
Петя записывает на листе бумаги строчку из $7$ нулей и $20$ единиц, расположенных в совершенно случайном порядке. Найти математическое ожидание случайной величины — числа нулей, записанных до появления первой единицы.
Ответ:
Решение: