Остап Бендер играет в шахматы с Чемпионом Васюков, Чемпионом России и Чемпионом Мира. По правилам, чтобы стать Абсолютным Чемпионом, Остапу нужно выиграть две игры подряд. Бендер имеет право выбирать, в каком порядке ему играть с соперниками. Какой порядок для Остапа выгоднее?
Ответ:
Решение:
Муха выползает из начала координат (см. рисунок) и движется вдоль линий целочисленной сетки либо вправо, либо вверх. В каждом узле сетки муха чисто случайно принимает решение — куда ей ползти дальше: вправо или вверх. Известно, что в какой-то момент муха попала в точку $A$. Найдите вероятность того, что по дороге муха побывала в точке $B$.
Ответ:
Решение:
Одна коробка с конфетами большая, другая — поменьше. В этих коробках лежат шоколадные конфеты и карамельки, неотличимые на ощупь. Петя предлагает Васе разыграть большую коробку. Вася должен, не глядя, выбрать из каждой коробки по конфете. Если обе конфеты окажутся шоколадными, то Вася выиграл. В противном случае выиграл Петя. Известно, что вероятность того, что Васе достанутся две карамельки, равна 0,5. Может ли быть, что вероятности выигрыша Васи и Пети одинаковы? Объясните ответ.
Ответ:
Решение:
Муха выползает из начала координат (см. рисунок) и движется вдоль линий целочисленной сетки либо вправо, либо вверх. В каждом узле сетки муха чисто случайно принимает решение — куда ей ползти дальше: вправо или вверх. Известно, что в какой-то момент муха попала в точку $A$. Найдите вероятность того, что по дороге муха не прошла через точку $B$.
Ответ:
Решение:
В двух коробках лежат карамельки и шоколадные конфеты, неотличимые на ощупь. В одной коробке 25 конфет, а в другой — 15 конфет. Петя предлагает Васе разыграть большую коробку. Вася должен, не глядя, выбрать из каждой коробки по конфете. Если обе конфеты окажутся шоколадными, то Вася выиграл. В противном случае выиграл Петя. Известно, что вероятность того, что Васе достанется одна карамелька и одна шоколадка, равна 0,5. Может ли быть, что вероятности выигрыша Васи и Пети одинаковы? Объясните ответ.
Ответ:
Решение:
70 % подписчиков некоторого журнала — школьники. 80 % подписчиков живут в городе. При этом 30 % горожан, подписавшихся на этот журнал, не учатся в школе. Выберем случайного подписчика. Являются ли независимыми события «Выбранный подписчик живет в городе» и «Выбранный подписчик учится в школе»?
Ответ:
Решение:
Сова утверждает, что в среднем три шнурка из четырёх, которые можно найти в лесу, ей не нужны, поскольку они слишком длинные для дверного звонка. Иа утверждает, что в среднем четыре из пяти шнурков из леса ему не нужны, поскольку они слишком короткие, чтобы сделать из них хвост для ослика. Оба правы. Какова вероятность того, что случайно найденный в лесу шнурок не нужен ни Сове, ни Иа?
Ответ:
Решение:
Есть три карточки. Обе стороны первой карточки — синие. Обе стороны второй карточки — красные, а стороны третьей карточки разных цветов: одна синяя, а другая красная. Выбирают случайную карточку и поворачивают её случайной стороной вверх. Эта сторона оказалась синяя. Какова вероятность того, что другая сторона тоже синяя?
Ответ:
Решение:
Муми-тролль утверждает, что в среднем два осенних дня из трёх недостаточно солнечные, чтобы он чувствовал себя совершенно счастливым. Хемуль утверждает, что в среднем три осенних дня из четырёх недостаточно дождливые, чтобы он чувствовал себя совершенно счастливым. Найдите вероятность того, что в случайно выбранный осенний день хотя бы один из них будет совершенно счастлив.
Ответ:
Решение:
Есть три карточки. Обе стороны первой карточки — жёлтые. Обе стороны второй карточки — зелёные, а стороны третьей карточки разных цветов: одна жёлтая, а другая зелёная. Выбирают случайную карточку и поворачивают её случайной стороной вверх. Эта сторона оказалась жёлтая. Какова вероятность того, что другая сторона зелёная?
Ответ:
Решение:
К юбилею Санкт-Петербургских математических олимпиад монетный двор отчеканил три юбилейные монеты. Одна монета получилась правильно, у второй монеты на обеих сторонах оказалось два орла, а у третьей обе стороны — решки. Директор монетного двора не глядя выбрал одну из этих трёх монет и бросил её наудачу. Выпал орёл. Чему равна вероятность того, что на второй стороне этой монеты тоже орёл?
Ответ:
Решение:
Горлум загадывает Бильбо девять загадок. Найдите самое вероятное из событий:
- $A$ = {Бильбо отгадает больше четырёх загадок}
- $B$ = {Бильбо отгадает не меньше четырёх загадок}
- $C$ = {Бильбо отгадает от четырёх до восьми загадок}
- $D$ = {Бильбо не отгадает меньше семи загадок}
Ответ:
Решение:
Семиклассник Сергеев часто опаздывает в школу. До конца четверти осталось десять учебных дней. Какое из следующих событий наименее вероятно?
- $A$ = {За эти 10 дней Сергеев опоздает от семи до девяти раз}
- $B$ = {За эти 10 дней Сергеев не опоздает меньше четырёх раз}
- $C$ = {За эти 10 дней Сергеев опоздает не меньше пяти раз}
- $D$ = {За эти 10 дней Сергеев опоздает больше пяти раз}
Ответ:
Решение:
Термометр измеряет температуру воды в бассейне. Вероятность того, что температура окажется выше 23 °C, равна $\frac{3}{4}$. Вероятность того, что температура ниже 26 °C, равна $\frac{2}{3}$. Найдите вероятность того, что температура окажется в пределах от 23 °C до 26 °C.
Ответ:
Решение:
Сергей Петрович заблудился в лесу. Поблуждав, он вышел в точку $S$, где встречаются все лесные тропинки (см. рисунок). Он хочет выйти к посёлку ($A$) или на станцию ($B$), куда из точки $S$ ведут тропинки. Но есть ещё кольцевые тропинки, которые возвращаются в точку $S$. Сергей Петрович пробует тропинки в случайном порядке. При этом он запоминает, где ходил, поэтому если он прошёл по кольцевой тропинке, то второй раз по ней он уже не пойдёт — ни в ту, ни в другую сторону. Путь по каждой тропинке занимает ровно 20 минут. Какова вероятность того, что Сергей Петрович выйдет из леса ровно через час?
Ответ:
Решение:
На турбазу приехали туристы. В первый день туристы знакомились и каждые двое независимо от прочих с вероятностью $p$ обменялись номерами мобильных телефонов. Утром второго дня туристы разбились на две группы — в одной 5 человек, а в другой 8 человек. Группы пошли по двум разным маршрутам. Найдите вероятность того, что группы смогут связаться друг с другом по телефону (внутри каждой группы туристы свободно общаются друг с другом, мобильные телефоны у всех работают, мобильная связь есть).
Ответ:
Решение:
Барометр измеряет атмосферное давление. Вероятность того, что давление окажется выше 746 мм рт. ст., равна $\frac{2}{3}$. Вероятность того, что давление ниже 752 мм рт. ст., равна $\frac{4}{5}$. Найдите вероятность того, что давление окажется в пределах от 746 мм рт. ст. до 752 мм рт. ст.
Ответ:
Решение:
Сергей Петрович заблудился в лесу. Поблуждав, он вышел в точку $S$, где встречаются все лесные тропинки (см. рисунок). Он хочет выйти к посёлку ($A$) или на станцию ($B$), куда из точки $S$ ведут тропинки. Но есть ещё кольцевые тропинки, которые возвращаются в точку $S$. Сергей Петрович пробует тропинки в случайном порядке. При этом он запоминает, где ходил, поэтому если он прошёл по кольцевой тропинке, то второй раз по ней он уже не пойдёт — ни в ту, ни в другую сторону. Путь по каждой тропинке занимает ровно 20 минут. Какова вероятность того, что Сергей Петрович выйдет из леса ровно через 40 минут?
Ответ:
Решение:
На турбазу приехали туристы. В первый день туристы знакомились и каждые двое независимо от прочих с вероятностью $p$ обменялись номерами мобильных телефонов. Утром второго дня туристы случайным образом разбились на две группы: в одной 6 человек, а в другой 7 человек. Одна группа ушла в пеший поход, а другая — в водный поход на байдарках. Найдите вероятность того, что группы смогут связаться друг с другом по телефону (внутри каждой группы туристы свободно общаются друг с другом, мобильные телефоны у всех работают, мобильная связь есть).
Ответ:
Решение:
Машина привезла 4 мешка цемента. Они лежат в кузове стопкой. За раз рабочий может перетащить один мешок из машины к калитке, либо от калитки в сарай. Рабочий может таскать мешки в любом порядке, каждый раз он берёт верхний мешок, несёт его куда надо и кладёт тоже наверх стопки (если там уже есть мешки). Если есть выбор, нести мешок из машины или от калитки, то рабочий выбирает каждый из этих вариантов с вероятностью 0,5. В итоге все мешки оказались в сарае.
а) Какова вероятность того, что в сарае мешки окажутся в обратном порядке по сравнению с тем, как они лежали в машине?
б) Какова вероятность того, что в сарае самым нижним окажется мешок, который в машине был вторым снизу?
а) Какова вероятность того, что в сарае мешки окажутся в обратном порядке по сравнению с тем, как они лежали в машине?
б) Какова вероятность того, что в сарае самым нижним окажется мешок, который в машине был вторым снизу?
Ответ:
Решение: