На новогоднем столе в ряд стоят 4 бокала: первый и третий с апельсиновым соком, а второй и четвертый — пустые. В ожидании гостей Валя рассеянно и случайно переливает сок из одного бокала в другой. За один раз она может взять полный бокал и перелить из него все содержимое в какой-нибудь из двух пустых бокалов.
Найдите математическое ожидание числа переливаний, в результате которых первый раз получится все наоборот: первый и третий будут пусты, а второй и четвертый — полны.
Найдите математическое ожидание числа переливаний, в результате которых первый раз получится все наоборот: первый и третий будут пусты, а второй и четвертый — полны.
Ответ:
Решение:
В круг встали 10 матросов, у каждого в руке поднятый флажок. Каждую секунду один случайный матрос, независимо от предыдущих событий, опускает свой флажок (если он был поднят) или поднимает (если флажок был опущен). Докажите, что событие «через некоторое время все флажки снова будут подняты» имеет вероятность 1.
Ответ:
Решение:
Три мухи одновременно садятся на равносторонний треугольник — по одной мухе в каждую вершину. Каждую минуту после этого каждая муха моментально перелетает в другую вершину, выбирая её случайным образом независимо от других мух и предыдущих перелётов. Одновременно в вершине может оказаться больше одной мухи. Найдите математическое ожидание величины «время, через которое все три мухи окажутся в одной вершине».
Ответ:
Решение:
Вершины правильного 25-угольника пронумерованы по порядку. В первой вершине находится крупинка сахара, а в третьей вершине сидит муравей. В какой-то момент он начинает беспорядочно ползать из вершины в вершину. Ровно за одну минуту он переползает из вершины, где находился, в соседнюю вершину. Направление дальнейшего движения в каждой вершине он выбирает случайно. Блуждание заканчивается, как только муравей найдет крупинку сахара. Найдите математическое ожидание случайной величины «продолжительность блуждания».
Ответ:
Решение:
Правильная игральная кость бросается много раз. Известно, что в какой-то момент сумма очков стала равна ровно 2010. Найдите математическое ожидание числа бросков, сделанных к этому моменту.
Ответ:
Решение:
Проезд в маршрутке стоит 75 рублей. Пятнадцать пассажиров заходят поодиночке и между собой деньгами не меняются. С вероятностью $0{,}5$ пассажир даёт водителю купюру 100 рублей и получает 25 рублей сдачи монетами по 5 или 10 рублей, а с вероятностью $0{,}5$ пассажир даёт водителю 50 рублей одной купюрой и 25 рублей монетами.
а) Перед рейсом у водителя монет не было вообще. Какова вероятность того, что водитель сможет немедленно дать сдачу каждому, кто расплачивается купюрой 100 рублей?
б) Какую сумму монетами должен иметь водитель перед выездом, чтобы с вероятностью не менее $0{,}95$ иметь возможность немедленно дать сдачу всем пассажирам, расплатившимся сторублёвкой?
а) Перед рейсом у водителя монет не было вообще. Какова вероятность того, что водитель сможет немедленно дать сдачу каждому, кто расплачивается купюрой 100 рублей?
б) Какую сумму монетами должен иметь водитель перед выездом, чтобы с вероятностью не менее $0{,}95$ иметь возможность немедленно дать сдачу всем пассажирам, расплатившимся сторублёвкой?
Ответ:
Решение:
Петя предлагает Васе сыграть в следующую игру. Петя дает Васе две коробки с конфетами. В каждой из двух коробок шоколадные конфеты и карамельки. Всего в обеих коробках 25 конфет. Петя предлагает Васе взять из каждой коробки по конфете. Если обе конфеты окажутся шоколадными, то Вася выиграл. В противном случае выиграл Петя. Вероятность того, что Васе достанутся две карамельки, равна $0{,}54$. У кого больше шансов на победу?
Ответ:
Решение:
40 % приверженцев некоторой политической партии являются женщинами. 70 % приверженцев этой партии — городские жители. При этом 60 % горожан, поддерживающих партию, — мужчины. Являются ли независимыми события «приверженец партии — горожанин» и «приверженец партии — женщина»?
Ответ:
Решение:
Аня ждёт автобус. Какое событие имеет наибольшую вероятность? А = {Аня ждет автобуса не меньше минуты} Б = {Аня ждет автобуса не меньше двух минут} В = {Аня ждет автобуса не меньше пяти минут}
Ответ:
Решение:
Аня на остановке ждет автобуса. Какое из перечисленных событий имеет наибольшую вероятность?
1) $A$ = «Аня ждет автобуса не меньше минуты»;
2) $B$ = «Аня ждет автобуса не меньше двух минут»;
3) $C$ = «Аня ждет автобуса не меньше пяти минут»;
4) $D$ = «Аня ждет автобуса не меньше двух, но не больше пяти минут».
1) $A$ = «Аня ждет автобуса не меньше минуты»;
2) $B$ = «Аня ждет автобуса не меньше двух минут»;
3) $C$ = «Аня ждет автобуса не меньше пяти минут»;
4) $D$ = «Аня ждет автобуса не меньше двух, но не больше пяти минут».
Ответ:
Решение:
Вася простудился. Мама измеряет ему температуру. Какое из перечисленных событий наиболее вероятное?
1) $A$ = «Температура окажется выше 37,2 °C»;
2) $B$ = «Температура окажется от 36,8 °C до 37,8 °C»;
3) $C$ = «Температура окажется выше 38,5 °C»;
4) $D$ = «Температура окажется выше 36,3 °C».
1) $A$ = «Температура окажется выше 37,2 °C»;
2) $B$ = «Температура окажется от 36,8 °C до 37,8 °C»;
3) $C$ = «Температура окажется выше 38,5 °C»;
4) $D$ = «Температура окажется выше 36,3 °C».
Ответ:
Решение:
Сергей на спор заявил, что выбросит на двух игральных костях в сумме ровно 9 очков не более чем за три попытки (имеется в виду сумма очков на двух костях в одной из попыток). Найдите вероятность того, что ему удастся это сделать.
Ответ:
Решение:
Андрей на спор заявил, что выбросит на двух игральных костях в сумме ровно 5 очков не более чем за две попытки (имеется в виду сумма очков на двух костях в одной из попыток). Найдите вероятность того, что ему удастся это сделать.
Ответ:
Решение:
Одновременно бросили две правильные игральные кости. Известно, что сумма выпавших очков делится на 3. Найдите вероятность того, что хотя бы на одной из костей выпало шесть очков.
Ответ:
Решение:
Одновременно бросили две правильные игральные кости. Известно, что сумма выпавших очков делится на 3. Найдите вероятность того, что хотя бы на одной из костей выпало два очка.
Ответ:
Решение:
Среди учеников школы каждый четвёртый участвовал в олимпиаде по вероятности. Известно, что среди участников 35 % девочек. Считая, что события «школьник участвовал в олимпиаде» и «школьник — девочка» независимы, найдите вероятность того, что случайно выбранный мальчик из этой школы не участвовал в олимпиаде.
Ответ:
Решение:
В инструкции к лекарству написано, что возможны следующие побочные эффекты:
- часто (с вероятностью от 1/100 до 1/10) — головная боль;
- нечасто (от 1/1000 до 1/100) — тошнота;
- редко (от 1/10000 до 1/1000) — вазомоторное расстройство.
Ответ:
Решение:
В школьном футбольном турнире участвуют 8 команд, одинаково хорошо играющих в футбол. Каждая игра заканчивается победой одной из команд. Случайно выбираемый по жребию номер определяет положение команды в турнирной таблице:
Какова вероятность того, что команды «А» и «В»:
а) встретятся в полуфинале;
б) встретятся в финале.
Какова вероятность того, что команды «А» и «В»:
а) встретятся в полуфинале;
б) встретятся в финале.
Ответ:
Решение:
В соревнованиях по пиханию животами шансы противников на победу относятся так же, как массы их тел. Юмбо весит больше Джумбо, а Пинк весит меньше Бонка. Ничьей в поединке быть не может. Юмбо и Джумбо по очереди должны пихаться с Пинком и Бонком. Какое из событий более вероятно:
$A$ = «Юмбо победит только Пинка, а Джумбо — только Бонка»
или
$B$ = «Юмбо победит только Бонка, а Джумбо — только Пинка»?
$A$ = «Юмбо победит только Пинка, а Джумбо — только Бонка»
или
$B$ = «Юмбо победит только Бонка, а Джумбо — только Пинка»?
Ответ:
Решение:
В финал конкурса спектаклей к 8 марта вышли два спектакля. В первом играли $n$ учеников 5 класса А, а во втором — $n$ учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали $2n$ мам всех $2n$ учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что каждая мама с вероятностью $\frac12$ голосует за лучший спектакль и с вероятностью $\frac12$ — за спектакль, в котором участвует её ребенок.
а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.
б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух классов.
а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.
б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух классов.
Ответ:
Решение: