$S$ — сумма первых 10 членов возрастающей арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, \ldots$, состоящей из целых чисел. Известно, что $a_6a_{12}\gt S+1$, $a_7a_{11}\lt S+17$. Укажите все возможные значения $a_1$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ — соответственно первый, второй и третий члены некоторой арифметической прогрессии (при этом $a$, $b$, $c$ не заданы, но известно, что $c\lt b\lt a$). Больший корень уравнения $ax^2-2bx+c=0$ является четвёртым членом этой прогрессии. Найдите его.
Ответ:
Решение:
Третий член арифметической прогрессии равен $3x+3$, пятый член равен $(x^2+2x)^2$, а девятый равен $3x^2$. Найдите $x$.
Ответ:
Решение:
Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию, имеющую разность $2^\circ$ и начинающуюся с угла $143^\circ$. Какое наибольшее число вершин может быть у такого многоугольника?
Ответ:
Решение:
В арифметической прогрессии, состоящей из $11$ членов, сумма квадратов первых пяти членов на $0{,}75$ больше суммы квадратов последних пяти членов. Найдите разность между суммой квадратов первых четырёх членов и суммой квадратов последних четырёх членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
$\{a_k\}$ — арифметическая прогрессия, $S_n$ — сумма первых $n$ ее членов. Известно, что \[ S_m:S_n=m(m+2):n(n+2) \] при любых целых положительных $m$ и $n$. Найти отношение $a_{2015}:a_{2014}$.
Ответ:
Решение:
$\{a_n\}$ — арифметическая прогрессия с $a_1=3$ и разностью $d=2$. $S_n$ — сумма первых ее $n$ членов. Функция $f(x)=ax^2+bx+c$ такова, что $f(a_n)=S_n$ для всех натуральных $n$. Найти $a$, $b$ и $c$.
Ответ:
Решение:
Найдите первый член арифметической прогрессии $a_1$, $a_2$, $\ldots$, если $a_{13}=0$, а произведение чисел $5^{a_1}$, $5^{a_2}$, $\ldots$, $5^{a_{24}}$ равно их среднему арифметическому.
Ответ:
Решение:
Несколько чисел образуют арифметическую прогрессию, причём их сумма равна 63, а первый член в полтора раза больше разности прогрессии. Если все члены прогрессии уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы первый член прогрессии был равен разности прогрессии, то сумма всех чисел уменьшится не более, чем на 8, но не менее, чем на 7. Определите, какой может быть разность этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Две арифметические прогрессии содержат по 2015 членов каждая. Отношение последнего члена первой прогрессии к первому члену второй равно отношению последнего члена второй прогрессии к первому члену первой и равно 4. Отношение суммы всех членов первой прогрессии к сумме всех членов второй равно 2. Найдите отношение разностей этих прогрессий и приведите пример таких прогрессий.
Ответ:
Решение:
В возрастающей арифметической прогрессии $\{b_i\}$ дано $b_1=1$, $b_{b_2}=10$. Найдите $b_n$ с номером $n=b_{b_3}$.
Ответ:
Решение:
Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет $50\%$ от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как $6:5$. Найдите количество членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма первых тринадцати членов некоторой арифметической прогрессии составляет $50\%$ от суммы последних тринадцати членов этой прогрессии. Сумма всех членов этой прогрессии без первых трёх членов относится к сумме всех членов без последних трёх как $5:4$. Найдите количество членов этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Сумма первых трёх членов арифметической прогрессии, а также сумма первых шести её членов — натуральные числа. Кроме того, её первый член $d_1$ удовлетворяет неравенству $d_1\geqslant\dfrac{1}{2}$. Какое наименьшее значение может принимать $d_1$?
Ответ:
Решение:
Пусть $S_n$ — сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии $\{a_n\}$. Известно, что \[ S_{n+1}=2n^2-21n-23. \]
1. Укажите формулу $n$-го члена этой прогрессии.
2. Найдите наименьшую по модулю сумму $S_n$.
3. Найдите наименьшее $n$, при котором $S_n$ будет квадратом целого числа
1. Укажите формулу $n$-го члена этой прогрессии.
2. Найдите наименьшую по модулю сумму $S_n$.
3. Найдите наименьшее $n$, при котором $S_n$ будет квадратом целого числа
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее число членов конечной арифметической прогрессии с разностью 4, при условии, что квадрат её первого члена в сумме с остальными членами не превосходит 100.
Ответ:
Решение:
Заемщик и кредитор договорились, что беспроцентный кредит в $615$ т. р. будет выплачиваться ежемесячно в последний день месяца. В первый месяц возвращается некоторая сумма (целое число т. р.), а в каждый последующий месяц возвращается сумма на $1$ т. р. большая, чем в предыдущем месяце. На какое максимальное число месяцев мог быть выдан такой кредит и какую сумму при этом выплатил заемщик в первый месяц?
Ответ:
Решение:
Числа $\frac{1}{17}$, $\frac{1}{15}$, $\frac{1}{13}$ являются членами арифметической прогрессии с возрастающими номерами. Каково наибольшее значение разности этой прогрессии?
Ответ:
Решение:
Известно, что арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, разность прогрессии равна 7 и сумма первых нескольких членов прогрессии равна 2744. Найдите все возможные значения первого члена прогрессии. В ответ запишите их сумму.
Ответ:
Решение:
Среди первых ста членов арифметической прогрессии с положительной разностью есть числа $\dfrac{13}{6}$, $\dfrac{75}{2}$ и $\dfrac{389}{6}$. Найти разность этой прогрессии. Найти наименьшее из возможных значений первого члена этой прогрессии.
Ответ:
Решение: