Числа от 1 до 50 написаны на карточках. Можно ли разложить эти карточки в 11 мешков (чтобы в каждый мешок попала хотя бы одна карточка) так, чтобы в каждом мешке произведение чисел на карточках делилось на 9?
Ответ:
Решение:
Рыцарский турнир длится ровно 7 дней. К концу четвёртого дня сэр Ланселот не успел сразиться лишь с одной четвертью от общего числа участников турнира. А сэр Тристан к этому времени сразился ровно с одной седьмой из тех рыцарей, с кем успел сразиться сэр Ланселот. Какое минимальное количество рыцарей могло участвовать в турнире?
Ответ:
Решение:
Вчера Никита купил несколько ручек: чёрные — по 9 рублей за штуку и синие — по 4 рубля за штуку. Зайдя сегодня в тот же магазин, он обнаружил, что цены на ручки изменились: чёрные стали стоить 4 рубля за штуку, а синие — 9 рублей. Увидев такое, Никита сказал с досадой: «Покупай я те же ручки сегодня, сэкономил бы 49 рублей». Не ошибается ли он?
Ответ:
Решение:
Сумма двух целых чисел равна $S$. Маша умножила левое число на целое число $a$, правое — на целое число $b$, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на $S$. Алёша, наоборот, левое число умножил на $b$, а правое — на $a$. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на $S$.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ называется «хорошим», если после приписывания его справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на $n$. Запишите десять «хороших» чисел, которые меньше, чем 1000. (Достаточно привести ответ.)
Ответ:
Решение:
На длинной ленте написаны цифры $201520152015\ldots$ Вася вырезал ножницами два куска ленты и составил из них положительное число, которое делится на 45. Приведите пример таких кусков и запишите число, составленное из них.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число $n$, при котором $(7!)!$ делится на $n!$. (Здесь $k!$ означает произведение $1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k$.)
Ответ:
Решение:
Аделина, Эвелина и Паулина писали олимпиаду по математике, где за каждую задачу можно было получить некоторое целое неотрицательное количество баллов. После объявления итогов выяснилось, что Аделина и Эвелина показали одинаковый результат, а сумма их баллов больше 15. Сумма баллов всех трех девочек оказалась меньше 60 и в $3\frac{1}{3}$ раза больше, чем набрала Паулина. Сколько баллов на олимпиаде набрала Аделина?
Ответ:
Решение:
Учитель выписал на доску несколько подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы. Петя заметил, что ровно 17 из них делятся на 3, а Вася заметил, что ровно 3 из них делятся на 13. Сколько чисел выписал на доску учитель?
Ответ:
Решение:
В 7 «Б» классе учится больше 3, но меньше 15 детей. На Новый год к ним пришёл Дед Мороз с мешком, в котором было 195 конфет. Раздав всем ребятам в классе поровну конфет, Дед Мороз обнаружил, что в мешке осталось 8 конфет. Сколько конфет получил каждый из ребят?
Ответ:
Решение:
В квадрате $6\times6$ расставили цифры так, что в верхней строке и левом столбце нет нулей. Всего получилось 12 шестизначных чисел: 6 из горизонтальных строк квадрата (слева-направо) и 6 из вертикальных столбцов квадрата (сверху-вниз). Коля, Вадим и Костя запомнили их, но оказалось, что каждый пропустил одно из 12 чисел. Коля заметил, что каждое из его одиннадцати чисел, делится на 11, Вадим обнаружил, что все его одиннадцать чисел делятся на 7, а Костя нашел у своих одиннадцати чисел общий делитель 13. Исходный квадрат они потеряли, а числа забыли, но им показалось, что где-то среди 12 чисел была комбинация цифр подряд 2021. Могло ли такое быть? Ответ обоснуйте.
Ответ:
Решение:
На доске написаны три натуральных числа, не превосходящих 40. За один ход можно увеличить любое из написанных чисел на число процентов, равное одному из двух оставшихся чисел, если в результате получится целое число. Существуют ли такие исходные числа, что за несколько ходов одно из чисел на доске можно сделать больше 2011?
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить все натуральные числа от $1$ до $2025$ в ряд так, что для любого $k=1,2,\ldots,2025$ сумма первых $k$ чисел в этом ряду нацело делится на $k$-е число в ряду?
Ответ:
Решение:
Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она остановилась.
а) Какое число оказалось у Маши в конце?
б) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?
а) Какое число оказалось у Маши в конце?
б) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $x_n=n(n+1)$. Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами $k$ и $l$ ($l\lt 350\lt k$) делится на $5^9$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $l+k$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что при любых натуральных значениях $n$ число $5^n\left(2^{2n}-3^n\right)+2^n-7^n$ делится нацело на 65.
Ответ:
Решение:
Все члены бесконечной геометрической прогрессии являются натуральными числами. Сумма третьего, пятого и седьмого членов этой прогрессии равна $819\cdot6^{2016}$. Найдите знаменатель прогрессии.
Ответ:
Решение:
Существует ли натуральное число, делящееся на 2020, в котором всех цифр $0, 1, 2, \ldots, 9$ поровну?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: