Доказать, что $\displaystyle \frac{ac^2+b}{c} \geqslant 2\sqrt{ab}$, если $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$, $c > 0$.
Ответ:
Решение:
Доказать для положительных $a$, $b$ и $c$: $\displaystyle (a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geqslant 9$.
Ответ:
Решение:
Доказать для положительных $a$, $b$ и $c$: $\displaystyle \frac{ad+bc}{bd}+\frac{bc+ad}{ac} \geqslant 4$.
Ответ:
Решение:
Доказать для положительных $a$, $b$ и $c$: $\displaystyle \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b} \geqslant 3$.
Ответ:
Решение:
Доказать неравенство: $\displaystyle \frac{2ab^2+4a^2b+b+2a}{2ab} \geqslant 4$ ($a > 0$, $b > 0$).
Ответ:
Решение:
Доказать неравенство: $\displaystyle \frac{a^2b^6+a^4b^3+b^3+a^2}{a^2b^3} \geqslant 4$ ($a > 0$, $b > 0$).
Ответ:
Решение:
Алиса записала положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ (не обязательно целые), а Маруся — числа $\dfrac{1}{a}$, $\dfrac{1}{b}$, $\dfrac{1}{c}$, $\dfrac{1}{d}$, $\dfrac{1}{e}$. Оказалось, что сумма чисел Алисы больше суммы чисел Маруси. Могло ли произведение чисел Алисы оказаться меньше произведения чисел Маруси?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сравните числа $\dfrac{100}{101}\times\dfrac{102}{103}\times\ldots\times\dfrac{1020}{1021}\times\dfrac{1022}{1023}$ и $\dfrac{5}{16}$.
Ответ:
Решение:
Даны $2014$ положительных чисел. Известно, что произведение любых тридцати пяти из них меньше единицы. Докажите, что произведение всех данных чисел меньше единицы.
Ответ:
Решение:
У каждого жителя города Тьмутаракань есть свои тараканы, не у всех поровну. Два таракана являются товарищами, если у них общий хозяин (в частности, каждый таракан сам себе товарищ). Что больше: среднее количество тараканов, которыми владеет житель города, или среднее количество товарищей у таракана?
Ответ:
Решение:
Сумма трёх положительных чисел равна их произведению. Докажите, что хотя бы два из них больше единицы.
Ответ:
Решение:
Некоторые неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству $a+b+c=2\sqrt{abc}$. Докажите, что $bc\geqslant b+c$.
Ответ:
Решение: