Ответ:
Решение:
Докажите, что если числа $x$, $y$, $z$ при некоторых значениях $p$ и $q$ являются решениями системы \[\begin{cases} y=x^n+px+q,\\ z=y^n+py+q,\\ x=z^n+pz+q,\end{cases}\] то выполнено неравенство $x^2y+y^2z+z^2x\geqslant x^2z+y^2x+z^2y$, где а) $n=2$; б) $n=2010$.
Ответ:
Решение:
Про положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ известно, что \[a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de.\] Докажите, что среди этих чисел найдутся такие три, что не существует треугольника с такими длинами сторон.
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство \[ \left|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}\right|\gt \dfrac{1}{mn}. \]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[a^2\lt b\quad\text{и}\quad b^2\lt c\quad\text{и}\quad c^2\lt a.\] Докажите, что все три числа $a$, $b$ и $c$ меньше 1.
Ответ:
Решение:
Сумма двадцати чисел равна 0. Докажите, что можно покрасить десять из них в красный цвет, а какие-то девять из оставшихся — в синий так, что сумма девяти синих чисел будет не меньше, чем сумма десяти красных.
Ответ:
Решение:
В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу весов, а любые три — на правую, то левая чаша перевесит. Три слона встали на левую чашу и два — на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?
Ответ:
Решение:
Множество $A$ состоит из $n$ различных натуральных чисел, сумма которых равна $n^2$. Множество $B$ также состоит из $n$ различных натуральных чисел, сумма которых равна $n^2$. Докажите, что найдётся число, которое принадлежит как множеству $A$, так и множеству $B$.
Ответ:
Решение:
Для положительных чисел $a$, $b$ и $c$ докажите неравенство \[ \dfrac{1+bc}{a}+\dfrac{1+ca}{b}+\dfrac{1+ab}{c}\gt \sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}. \]
Ответ:
Решение:
Последовательность чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{2022}$ такова, что $a_n-a_k\geqslant n^3-k^3$ для любых $n$ и $k$ таких, что $1\leqslant n\leqslant2022$ и $1\leqslant k\leqslant2022$. При этом $a_{1011}=0$. Какие значения может принимать $a_{2022}$?
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ a^2+b^2\lt (a-b)^2\quad\text{и}\quad b^2+c^2\lt (b-c)^2. \] Докажите, что $a^4+c^4\lt (a+c)^4$.
Ответ:
Решение:
Различные неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[a^2+b^2=c^2+ab.\] Докажите, что $c^2+ab\lt ac+bc$.
Ответ:
Решение:
Пять положительных чисел таковы, что сумма их кубов меньше суммы их квадратов. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 2.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[ a^2+b^2\gt (a+b)^2\quad\text{и}\quad b^2+c^2\gt (b+c)^2. \] Что больше: $c^4+a^4$ или $(a+c)^4$?
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условию $xyz\geqslant xy+yz+zx$. Докажите неравенство \[ \sqrt{xyz}\geqslant\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}. \]
Ответ:
Решение:
Существует ли треугольник, для сторон $x$, $y$, $z$ которого выполнено соотношение \[ x^3+y^3+z^3=(x+y)(y+z)(z+x)\,? \]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x$, $y$ таковы, что $x^5-y^3\geqslant 2x$. Докажите, что $x^3\geqslant 2y$.
Ответ:
Решение:
Даны действительные числа $a$ и $b$, причём $b\gt a\gt 1$. Пусть \[x_n=2^n\left(\sqrt[2^n]{b}-\sqrt[2^n]{a}\right).\] Докажите, что последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$ убывает.
Ответ:
Решение:
Дано положительное число $a\neq 1$. Докажите, что последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$, где \[x_n=2^n\left(\sqrt[2^n]{a}-1\right),\] убывает.
Ответ:
Решение: