Петя разложил карточки с числами от 1 до 10 в ряд в каком-то порядке, затем для каждой пары соседних карточек записал число $\frac{1}{x+y}$, где $x$ и $y$ — числа на этих карточках. Докажите, что сумма записанных Петей чисел больше, чем 0,75.
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^4-y^4\gt x$ и $y^4-x^4\gt y$. Может ли произведение $xy$ равняться отрицательному числу?
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^4-y^4\gt x$ и $y^4-x^4\gt y$. Какой знак может иметь произведение $xy$ (укажите все возможности)?
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^2-x\gt y^2$ и $y^2-y\gt x^2$. Какой знак может иметь произведение $xy$?
Ответ:
Решение:
Вещественные числа $x$, $y$, $z$ таковы, что \[ 2x\gt y^2+z^2,\quad 2y\gt z^2+x^2,\quad 2z\gt x^2+y^2. \] Докажите, что каждое из чисел $x$, $y$, $z$ меньше 1.
Ответ:
Решение:
Палочка разломана на 15 частей так, что ни из каких трёх частей нельзя сложить треугольник. Докажите, что среди частей есть такая, которая длиннее трети исходной палочки.
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что \[(a+b+2c)^2\gt d,\quad (b+c+2d)^2\gt a,\quad (c+d+2a)^2\gt b,\quad (d+a+2b)^2\gt c.\] Докажите, что $a+b+c+d\gt 1/4$.
Ответ:
Решение:
Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению \[abc+abd+acd+bcd+a+b+c+d=0.\] Докажите, что \[\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{d-1}\gt 0.\]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют соотношению $ab+bc+ca=1$. Докажите, что \[ \sqrt{a+\dfrac{1}{a}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{b}}+\sqrt{c+\dfrac{1}{c}}\geqslant 2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right). \]
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Докажите, что $(2+a)(2+b)\geqslant cd$.
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ с неотрицательными коэффициентами, а $a$, $b$ и $c$ — длины сторон некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}$, $\sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ с неотрицательными коэффициентами, а $a$, $b$ и $c$ — длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}$, $\sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого треугольника.
Ответ:
Решение:
Положительные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что \[ a^2b+b^2c+c^2a=2\quad\text{и}\quad ab^2+bc^2+ca^2=4. \] Докажите, что из чисел $a$, $b$, $c$ какие-то два отличаются более чем на 2.
Ответ:
Решение:
Есть 40 гирь. Веса любых двух отличаются не более чем на 45 кг. Любые десять из этих гирь можно разбить на две группы по пять гирь, суммы весов которых отличаются не более чем на 11 кг. Докажите, что найдутся две гири, веса которых отличаются не более чем на 1 кг.
Ответ:
Решение:
На доске написано четыре положительных числа. Докажите, что какие-то два из них отличаются меньше, чем на треть суммы двух остальных.
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$, $z$ таковы, что \[ x\gt y^2+z^2,\quad y\gt z^2+x^2,\quad z\gt x^2+y^2. \] Докажите, что каждое из чисел $x$, $y$, $z$ меньше $1/2$.
Ответ:
Решение:
Сумма положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна 3. Докажите неравенство \[\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\leqslant\frac{1}{a^3b^3c^3d^3}.\]
Ответ:
Решение:
Сумма положительных чисел $a$, $b$, $c$ и $d$ равна 3. Докажите неравенство \[\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}\leqslant\frac{1}{a^2b^2c^2d^2}.\]
Ответ:
Решение:
На доске выписаны в ряд $n$ положительных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$. Вася хочет выписать под каждым числом $a_i$ число $b_i\geqslant a_i$ так, чтобы для любых двух из чисел $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$ отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство $b_1b_2\ldots b_n\leqslant2^{(n-1)/2}a_1a_2\ldots a_n$.
Ответ:
Решение:
Даны положительные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, где $n\geqslant 2$. Докажите, что \[ \frac{1+x_1^2}{1+x_1x_2}+\frac{1+x_2^2}{1+x_2x_3}+\ldots+\frac{1+x_{n-1}^2}{1+x_{n-1}x_n}+\frac{1+x_n^2}{1+x_nx_1}\geqslant n. \]
Ответ:
Решение: