Найти все значения параметра $\alpha$, $-\pi\lt \alpha\lt \pi$, при которых система уравнений \[ \begin{cases} (1-4x^2-4y^2)(4x^2+15-12y)=0,\\ y\cos\alpha+x\sin\alpha=\dfrac12 \end{cases} \] имеет ровно три решения.
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при которых система уравнений \[\begin{cases}|x|+2|y|+|2y-3x|=12,\\ x^2+y^2=a\end{cases}\] имеет ровно два действительных решения.
Ответ:
Решение:
Для каждого значения параметра $a\in[0,\pi]$ найти максимальное значение $g(a)$ функции \[f(x,y)=x(x+2)+y(y-4)\] на множестве точек $(x,y)$ таких, что $x^2+y^2\leqslant2(x\cos a+y\sin a)$. Найти значения параметра $a\in[0,\pi]$, при которых $g(a)$ принимает наименьшее значение.
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых наибольшее значение величины $x^2+y$ на множестве пар действительных чисел $(x;y)$, удовлетворяющих одновременно двум неравенствам $y\leqslant\sqrt{1-x^2}$ и $y+|x-a|\leqslant1$, будет максимально возможным. Найти это максимально возможное значение.
Ответ:
Решение: