Коля и Дима играют в игру на доске $8\times8$, делая ходы по очереди, начинает Коля. Коля рисует в клетках крестики, а Дима накрывает прямоугольниками $1\times2$ (доминошками) пары соседних по стороне клеток доски. За свой ход Коля должен поставить один крестик в любую пустую клетку (т. е. в клетку, в которой ещё не нарисован крестик и которая ещё не покрыта доминошкой). Дима за свой ход должен накрыть доминошкой две клетки (ещё не накрытые другими доминошками), в которых суммарно чётное число крестиков (0 или 2). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков имеет выигрышную стратегию?
Ответ:
Решение:
Двум мудрецам, А и Б, назначено испытание. Наутро их приведут в комнату, где на столе по кругу будут лежать шесть одинаковых с виду таблеток, из которых четыре безвредны, а две отравлены. Затем мудрецу А сообщат, какие таблетки отравлены, но передать информацию Б он уже не сможет. Мудрецы должны по очереди (начинает А) съедать по таблетке, пока не останется только две ядовитых. Как мудрецам заранее договориться, чтобы успешно пройти испытание?
Ответ:
Решение:
Есть две коробки, в одной 2017 конфет, а в другой 2018. Играют двое, ходят по очереди. За один ход каждый может съесть любое количество конфет, отличное от нуля, из любой коробки. Правила игры не допускают, чтобы после какого-то хода число конфет в одной из коробок делилось на число конфет в другой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход, не нарушив этого условия. Кто сможет выиграть: начинающий игру или второй игрок, как бы ни играл его соперник?
Ответ:
Решение:
Германн и Чекалинский разложили на столе 13 различных карт. Каждая карта может лежать в одном из двух положений: рубашкой вверх или рубашкой вниз. Игроки должны по очереди переворачивать по одной карте. Проигрывает тот игрок, после хода которого повторится какая-то из предыдущих ситуаций (включая изначальную). Первый ход сделал Чекалинский. Кто сможет выиграть независимо от того, как будет играть соперник?
Ответ:
Решение:
Вася знает, что Петя задумал натуральное число, не большее 4. Вася может указать любое натуральное число или несколько чисел и спросить Петю, есть ли задуманное число среди них (например: «Верно ли, что задуманное число равно 2?» или «Верно ли, что задуманное число равно 2 или 3?»). Петя должен ответить «Да» или «Нет». Как Васе за 11 вопросов узнать задуманное число, если Петя в ответ может и соврать, но не больше трех раз?
Ответ:
Решение:
Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым ходит Юра.
Изначально на доске написано число $n$. Игрок в свой ход может прибавить к числу на доске любой его натуральный делитель, стереть старое число и записать новое. (Например, если на доске написано число 12, то можно его стереть и написать одно из чисел 13, 14, 15, 16, 18, 24.)
Рассмотрим все возможные натуральные значения $n$ от 2 до 59 включительно.
1. Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если проигрывает тот, кто получит после своего хода число, не меньшее 60?
2. Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если побеждает тот, кто получит после своего хода число, не меньшее 60?
Изначально на доске написано число $n$. Игрок в свой ход может прибавить к числу на доске любой его натуральный делитель, стереть старое число и записать новое. (Например, если на доске написано число 12, то можно его стереть и написать одно из чисел 13, 14, 15, 16, 18, 24.)
Рассмотрим все возможные натуральные значения $n$ от 2 до 59 включительно.
1. Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если проигрывает тот, кто получит после своего хода число, не меньшее 60?
2. Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию, если побеждает тот, кто получит после своего хода число, не меньшее 60?
Ответ:
Решение:
У Малыша и Карлсона есть длинная шоколадка $15\times100$. Они по очереди выедают из неё квадратные куски любого размера (куски можно выедать только по линиям сетки). Начинает Карлсон. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Ответ:
Решение:
Пятачок и Винни-Пух решили съесть квадратную шоколадку $7\times7$. Они поочерёдно по клеточкам выедают из неё кусочки: Пятачок — $1\times1$, Винни-Пух — $2\times1$ или $1\times2$ (кусочки можно выедать не обязательно с краю). Первый ход делает Пятачок. Если перед ходом Винни-Пуха в шоколадке не осталось ни одного кусочка $2\times1$ или $1\times2$, то вся оставшаяся шоколадка достаётся Пятачку. Кто из друзей сможет съесть больше половины всей шоколадки вне зависимости от действий второго?
Ответ:
Решение:
Ковбои Билл и Джо стреляют без промаха. Они решили посоревноваться в удачливости. Каждый зарядил свой 10-зарядный револьвер пятью боевыми патронами и пятью холостыми.
Билл и Джо одновременно стреляют каждый по своей мишени. Они стреляют до тех пор, пока хотя бы одна из мишеней не будет поражена. Если попал в свою мишень кто-то один — он победитель. Если попали оба, то объявляется ничья. После каждого выстрела барабан револьвера автоматически поворачивается на одно гнездо, подставляя под боек следующий патрон. Билл случайным образом раскручивает барабан своего револьвера перед каждым выстрелом, а Джо решил раскрутить свой барабан наудачу только перед первым выстрелом.
В каком порядке Джо должен зарядить холостые и боевые патроны в барабан своего револьвера, чтобы вероятность его победы стала наибольшей?
Билл и Джо одновременно стреляют каждый по своей мишени. Они стреляют до тех пор, пока хотя бы одна из мишеней не будет поражена. Если попал в свою мишень кто-то один — он победитель. Если попали оба, то объявляется ничья. После каждого выстрела барабан револьвера автоматически поворачивается на одно гнездо, подставляя под боек следующий патрон. Билл случайным образом раскручивает барабан своего револьвера перед каждым выстрелом, а Джо решил раскрутить свой барабан наудачу только перед первым выстрелом.
В каком порядке Джо должен зарядить холостые и боевые патроны в барабан своего револьвера, чтобы вероятность его победы стала наибольшей?
Ответ:
Решение:
Банкомёт по одной сдаёт игроку карты из хорошо перетасованной обычной карточной колоды. В любой момент, пока у банкомёта еще остались карты, игрок может сказать «Стоп». После этого банкомёт открывает ещё одну карту. Если она красной масти, то игрок выигрывает, если чёрной, то проигрывает.
Существует ли у игрока стратегия, при которой вероятность выигрыша больше, чем 0,5?
Примечание. В некоторых карточных играх тот, кто сдает игрокам карты, называется банкомётом.
Существует ли у игрока стратегия, при которой вероятность выигрыша больше, чем 0,5?
Примечание. В некоторых карточных играх тот, кто сдает игрокам карты, называется банкомётом.
Ответ:
Решение:
В Анчурии готовятся президентские выборы, в которых хочет победить президент Мирафлорес. Ровно половина многочисленных избирателей поддерживает Мирафлореса, а другая половина — Дика Малони. Мирафлорес тоже является избирателем. По закону он имеет право поделить всех избирателей на два избирательных округа по своему усмотрению. В каждом из округов голосование проводится следующим образом: каждый избиратель отмечает на бюллетене имя своего кандидата; все бюллетени помещаются в урну. Затем из урны достаётся один случайный бюллетень, и тот, чьё имя на нём отмечено, победит в этом округе. Кандидат побеждает на выборах, только если победит в обоих округах. Если победитель не выявился, назначается следующий тур голосования по тем же правилам. Как Мирафлорес должен поделить избирателей, чтобы максимизировать вероятность своей победы на первом туре?
Ответ:
Решение:
Валя и Коля пошли в тир. Коля предложил:
— Валь, давай стрелять по очереди. Кто первый попадет в мишень, тот и победил.
— Это нечестно! Ты стреляешь лучше. Помнишь, Рассеянный Ученый совершенно точно подсчитал, что на одно попадание ты расходуешь в среднем на один выстрел меньше, чем я.
— Хорошо, — согласился Коля. — Стреляй первой. Тогда у нас будут равные шансы на победу.
Валя немного подумала и сказала:
— Все равно нечестно. Давай лучше возьмем два ружья и будем стрелять одновременно, но по двум разным мишеням. Тогда может случиться ничья, а значит, вероятность того, что я хотя бы не проиграю, больше, чем при стрельбе по очереди.
а) Прав ли Коля, утверждая, что если они будут стрелять по очереди, но Валя будет стрелять первой, то шансы у них равны?
б) Права ли Валя, утверждая, что если стрелять по двум мишеням одновременно, то вероятность не проиграть у нее больше, чем вероятность победить при стрельбе по очереди?
— Валь, давай стрелять по очереди. Кто первый попадет в мишень, тот и победил.
— Это нечестно! Ты стреляешь лучше. Помнишь, Рассеянный Ученый совершенно точно подсчитал, что на одно попадание ты расходуешь в среднем на один выстрел меньше, чем я.
— Хорошо, — согласился Коля. — Стреляй первой. Тогда у нас будут равные шансы на победу.
Валя немного подумала и сказала:
— Все равно нечестно. Давай лучше возьмем два ружья и будем стрелять одновременно, но по двум разным мишеням. Тогда может случиться ничья, а значит, вероятность того, что я хотя бы не проиграю, больше, чем при стрельбе по очереди.
а) Прав ли Коля, утверждая, что если они будут стрелять по очереди, но Валя будет стрелять первой, то шансы у них равны?
б) Права ли Валя, утверждая, что если стрелять по двум мишеням одновременно, то вероятность не проиграть у нее больше, чем вероятность победить при стрельбе по очереди?
Ответ:
Решение:
Тридцать шесть игроков играют в игру: из карточной колоды, в которой 36 карт, они по очереди выбирают по случайной карте. Если игроку попался туз бубен, то игрок выиграл; если же попалась другая карта, игрок возвращает её в колоду, и карту тянет следующий игрок. Так они тянут карты по кругу: сначала первый, затем второй и т. д. Если на первом круге никому не попался туз бубен, игроки в том же порядке тянут карты по второму кругу. Это продолжается до тех пор, пока кто-то из них не вытянет туза бубен.
Предположим, что перед началом игры игроки сделали ставки, и выигравший забирает их все. Как должны относиться ставки игроков, чтобы игра стала безобидной, то есть математические ожидания выигрыша у всех игроков оказались равны между собой (то есть равны нулю с учётом внесенной суммы)?
Предположим, что перед началом игры игроки сделали ставки, и выигравший забирает их все. Как должны относиться ставки игроков, чтобы игра стала безобидной, то есть математические ожидания выигрыша у всех игроков оказались равны между собой (то есть равны нулю с учётом внесенной суммы)?
Ответ:
Решение:
Петя играет в компьютерную игру «Куча камней». Сначала в куче 16 камней. Игроки по очереди берут из кучи 1, 2, 3 или 4 камня. Выигрывает тот, кто заберет последний камень. Петя играет впервые и поэтому каждый раз берет случайное число камней, при этом он не нарушает правила игры. Компьютер играет по следующему алгоритму: на каждом ходу он берет столько камней, чтобы оказаться в наиболее выгодном положении. Игру начинает всегда Петя. С какой вероятностью Петя выиграет?
Ответ:
Решение:
У Вали в шкатулке три синие бусины и одна красная. Они с Колей бросают жребий: каждый по очереди не глядя вынимает бусину. Выигрывает тот, кому досталась красная. Начинает Валя, так как это ее бусины, но зато Коля может выбрать одно из дополнительных правил.
Правило 1. Вынутые бусины остаются у игроков.
Правило 2. Каждая вынутая бусина тут же возвращается в шкатулку.
Какое правило должен выбрать Коля, чтобы повысить вероятность своего выигрыша?
Правило 1. Вынутые бусины остаются у игроков.
Правило 2. Каждая вынутая бусина тут же возвращается в шкатулку.
Какое правило должен выбрать Коля, чтобы повысить вероятность своего выигрыша?
Ответ:
Решение:
Тридцать шесть игроков играют в игру: из колоды, в которой 36 игральных карт, игроки по очереди выбирают по случайной карте. Если игроку попался туз бубен, то игрок выиграл; если же попалась другая карта, игрок возвращает её в колоду, и случайную карту тянет следующий игрок. Так они тянут карты по кругу: сначала первый, затем второй и т.д. Если на первом круге никому не попался туз бубен, игроки в том же порядке тянут карты по второму кругу. Это продолжается до тех пор, пока кто-то из них не вытянет туза бубен.
а) Честная ли это игра, то есть равны ли у игроков вероятности выигрыша?
б) Найдите хотя бы приближённо вероятность выигрыша первого игрока.
а) Честная ли это игра, то есть равны ли у игроков вероятности выигрыша?
б) Найдите хотя бы приближённо вероятность выигрыша первого игрока.
Ответ:
Решение:
А. и Б. играют в орлянку, делая по два броска за один кон: сначала А., за ним Б., затем следуют ещё два броска и так далее. Если при броске выпадает орёл, то бросавший забирает у второго игрока один пряник. Б. заметил, что монета несимметричная — вероятность выпадения орла чуть выше, чем 0,5. Тогда Б. предложил изменить правила. Новые правила звучат так:
- А. забирает пряник у Б., если при броске А. выпадает орёл;
- Б. забирает пряник у А., если при броске Б. выпадет та же сторона монеты, какая перед этим выпала у А.
Ответ:
Решение:
Федя предложил Васе сыграть в игру: нужно бросить две игральные кости и перемножить выпавшие числа.
— Самое большое произведение 36, а самое маленькое 1, — заявил Федя. — Давай так: если произведение получилось от 1 до 18, то я выиграл, а если от 19 до 36, то выиграл ты.
а) Соглашаться ли Васе на такие условия игры?
б) Как изменить границу, чтобы игра стала справедливой?
— Самое большое произведение 36, а самое маленькое 1, — заявил Федя. — Давай так: если произведение получилось от 1 до 18, то я выиграл, а если от 19 до 36, то выиграл ты.
а) Соглашаться ли Васе на такие условия игры?
б) Как изменить границу, чтобы игра стала справедливой?
Ответ:
Решение:
У Аси и Васи есть 3 монеты. На разных сторонах одной монеты изображены ножницы и бумага, на сторонах другой монеты — камень и ножницы, на сторонах третьей — бумага и камень. Ножницы побеждают бумагу, бумага побеждает камень и камень побеждает ножницы. Сначала Ася выбирает себе монетку, потом Вася, потом они бросают свои монетки и смотрят, кто выиграл (если выпало одно и то же, то — ничья). Так они делают много раз. Есть ли возможность у Васи выбирать монету так, чтобы вероятность его выигрыша была выше, чем у Аси?
Ответ:
Решение:
Лотерея выгодна устроителю лотереи, если математическое ожидание выигрыша меньше, чем цена билета. Участник лотереи считает, что лотерея ему выгодна, если, купив один билет, он с вероятностью больше, чем 0,5 выиграет сумму, которая больше цены билета.
Лотерейный билет стоит 10 рублей. С вероятностью $p$ билет содержит выигрыш 19 рублей, с вероятностью $1-p$ билет не содержит выигрыша. Можно ли подобрать $p$ так, чтобы лотерея была выгодна и устроителю, и участнику лотереи? Если нельзя, объясните почему. Если можно, найдите все такие значения $p$.
Лотерейный билет стоит 10 рублей. С вероятностью $p$ билет содержит выигрыш 19 рублей, с вероятностью $1-p$ билет не содержит выигрыша. Можно ли подобрать $p$ так, чтобы лотерея была выгодна и устроителю, и участнику лотереи? Если нельзя, объясните почему. Если можно, найдите все такие значения $p$.
Ответ:
Решение: