В красном ящике 100 красных шаров, а в зелёном ящике — 100 зелёных шаров. Восемь красных шаров переложили в зелёный ящик, а потом столько же шаров переложили из зелёного ящика в красный. Шары в ящиках хорошенько перемешали. Что теперь больше: вероятность вытащить наудачу из красного ящика зелёный шар или из зелёного ящика красный?
Ответ:
Решение:
Василий Петров выполняет задание по английскому языку. В этом задании есть 10 английских выражений и их переводы на русский в случайном порядке. Нужно установить верные соответствия между выражениями и их переводами. За каждое правильно установленное соответствие даётся 1 балл. Таким образом, можно получить от 0 до 10 баллов. Вася ничего не знает, поэтому выбирает варианты наугад. Найдите вероятность того, что он получит ровно 9 баллов.
Ответ:
Решение:
Петя и Вася одновременно бросают по одной игральной кости. Выигрывает тот, у кого выпало больше очков. Если выпало поровну — наступает ничья. Какова вероятность того, что Петя выиграет?
Ответ:
Решение:
Поле для игры в крестики-нолики (три на три клетки) случайным образом заполняют шестью крестиками и тремя ноликами. Найдите вероятность того, что все три нолика окажутся «в выигрышной позиции», то есть в один ряд по вертикали, по горизонтали или по диагонали.
Ответ:
Решение:
Имеются карточки с натуральными числами от 1 до 5. Карточки хорошо перемешали и наугад выбирают две штуки. Найдите вероятность того, что на выбранных карточках окажутся два последовательных числа.
Ответ:
Решение:
Имеется две монеты. Можно ли написать на каждой стороне каждой монеты по одному числу так, чтобы сумма выпавших чисел при бросании этих монет принимала значения 1, 2, 3 и 4 с равными вероятностями 0,25?
Ответ:
Решение:
Петя подходит к двери подъезда с кодовым замком, на замке расположены кнопки с цифрами от 0 до 9. Чтобы открыть дверь, нужно одновременно нажать три правильные кнопки. Петя не помнит код и пробует по очереди комбинации. На каждую попытку Петя тратит 2 секунды.
а) Сколько времени понадобится Пете, чтобы наверняка попасть в подъезд?
б) Сколько времени в среднем понадобится Пете?
в) Какова вероятность того, что Петя попадет в подъезд менее чем за одну минуту?
а) Сколько времени понадобится Пете, чтобы наверняка попасть в подъезд?
б) Сколько времени в среднем понадобится Пете?
в) Какова вероятность того, что Петя попадет в подъезд менее чем за одну минуту?
Ответ:
Решение:
В городе, где живет Рассеянный Ученый, телефонные номера состоят из 7 цифр. Ученый легко запоминает телефонный номер, если этот номер — палиндром, то есть он одинаково читается слева направо и справа налево.
Например, номер $443\,53\,44$ Ученый запоминает легко, потому что этот номер — палиндром. А номер $372\,36\,27$ — не палиндром, поэтому Ученый такой номер запоминает с трудом.
Найдите вероятность того, что телефонный номер нового случайного знакомого Ученый запомнит легко.
Например, номер $443\,53\,44$ Ученый запоминает легко, потому что этот номер — палиндром. А номер $372\,36\,27$ — не палиндром, поэтому Ученый такой номер запоминает с трудом.
Найдите вероятность того, что телефонный номер нового случайного знакомого Ученый запомнит легко.
Ответ:
Решение:
Три усталых ковбоя зашли в салун, и повесили свои шляпы на бизоний рог при входе. Когда глубокой ночью ковбои уходили, они были не в состоянии отличить одну шляпу от другой, и поэтому разобрали три шляпы наугад. Найдите вероятность того, что никто из них не взял свою собственную шляпу.
Ответ:
Решение:
В классе меньше 30 человек. Вероятность того, что наугад выбранная девочка отличница, равна $\frac{3}{13}$, а вероятность того, что наугад выбранный мальчик отличник, равна $\frac{4}{11}$. Сколько в классе отличников?
Ответ:
Решение:
В классе 25 детей. Для дежурства наугад выбирают двоих. Вероятность того, что оба дежурных окажутся мальчиками, равна $\frac{3}{25}$. Сколько в классе девочек?
Ответ:
Решение:
Имеется 20 шаров с числами $1, 2, \ldots, 10$, каждое число встречается по два раза. Эти шары случайным образом раскладываются по два в 10 корзин. Из каждой корзины извлекается один шар. Какова вероятность того, что на извлеченных шарах все числа различны?
Ответ:
Решение:
Робот Казимир решил создать шедевр. На неограниченном клетчатом поле он закрашивает клетку чёрным, а потом поочерёдно красит ещё 8 квадратиков, каждый раз выбирая клетку под покраску наугад из соседних к уже закрашенным (соседство по диагонали не подходит, нужна как минимум одна общая сторона).
С какой вероятностью своим последним штрихом он превратит «кольцо» в чёрный квадрат (размерами 3 на 3)?
С какой вероятностью своим последним штрихом он превратит «кольцо» в чёрный квадрат (размерами 3 на 3)?
Ответ:
Решение:
На каждой стороне белого кубика сидит по жуку. Кубик бросили, и жуки переполошились — каждый выбрал наугад одну из 4-х соседних граней и переполз туда. С какой вероятностью кубик не изменит своего первоначального вида?
Ответ:
Решение:
На клетках шахматной доски размером $8\times8$ случайным образом расставлены $4$ одинаковых фигуры. Найти вероятность того, что три из них будут находиться либо на одной горизонтали, либо на одной вертикали, либо на одной из двух главных диагоналей.
Ответ:
Решение:
Блоха Кузя может совершать прыжки по прямой $L$. Старт для прыжков находится в точке $A$ прямой $L$, длина одного прыжка $h$, направление каждого прыжка выбирается случайным и равновозможным. Найти вероятность того, что, сделав от четырех до восьми случайных прыжков, Кузя хотя бы один раз будет находиться на расстоянии $3h$ от $A$.
Ответ:
Решение:
Карточки с буквами П, О, Т, О, М, С, Т, В, О сложили в строку в случайном порядке. С какой вероятностью найдутся три карточки подряд, образующие слово ТОМ или ПОТ? Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ:
Решение:
В лаборатории имеются колбы двух размеров (объемом $V$ и объемом $V/2$) в суммарном количестве $100$ штук, причем колб каждого размера не менее трех. Лаборант поочередно случайно выбирает три колбы, и первую из них полностью заполняет $80$-процентным раствором соли, вторую полностью заполняет $50$-процентным раствором соли, а третью колбу полностью заполняет $20$-процентным раствором соли. Затем он сливает содержимое этих трех колб в одну чашу и определяет процентное содержание соли в ней. При каком наименьшем количестве больших колб $N$ событие «процентное содержание соли в чаше находится в пределах от $45\%$ до $55\%$ включительно» будет случаться реже события «при случайном бросании двух симметричных монет выпадает орел и решка (в любом порядке)»? Ответ обосновать.
Ответ:
Решение:
Андрей выбирает случайным образом целое число $a$ из отрезка $[-5;6]$ и после этого решает уравнение \[ 3x^3-(3a-4)x^2-(2a-3)x+a+2=0. \] Найдите вероятность того, что Андрей получит три различных корня, из которых, как минимум, два будут целыми, если точно известно, что при вычислениях он не ошибётся.
Ответ:
Решение:
Петя совершенно случайно написал на бумаге два телефонных номера. Какова вероятность того, что суммы последних двух цифр этих номеров отличаются на $6$ единиц?
Ответ:
Решение: