У Вити есть четыре карточки, на которых написаны числа 3, 5, 7, 8. Он случайным образом составляет из них число вида \[\overline{ab}^{\,\overline{cd}}.\] С какой вероятностью это число делится на 3? Выражение $\overline{ab}$ обозначает двухзначное число, состоящее из цифр $a$ и $b$.
Ответ:
Решение:
Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что произведение чисел на карточках — простое число.
Ответ:
Решение:
Игровой круг в телевикторине разбит на 13 одинаковых секторов. Секторы пронумерованы числами от 1 до 13. В каждом секторе в начале игры лежит конверт с вопросом. Игроки выбирают случайный сектор с помощью волчка со стрелкой. Если этот сектор уже выпадал прежде, то конверта в нем уже нет, и тогда играет следующий по часовой стрелке сектор. Если он тоже пуст, — следующий и т.д., пока не встретится непустой сектор. До перерыва игроки разыграли 6 секторов.
а) Что более вероятно: что в числе разыгранных есть сектор № 1 или что среди разыгранных есть сектор № 8?
б) Найдите вероятность того, что в результате оказались разыграны подряд шесть секторов с номерами от №1 до №6.
а) Что более вероятно: что в числе разыгранных есть сектор № 1 или что среди разыгранных есть сектор № 8?
б) Найдите вероятность того, что в результате оказались разыграны подряд шесть секторов с номерами от №1 до №6.
Ответ:
Решение:
В лотерее «Счастливая сумма» всего $N$ шаров с номерами от 1 до $N$. Во время основного тиража случайным образом выпадают 10 шаров. Во время дополнительного тиража из этого же набора шаров случайно выбирают 8 шаров. Сумма номеров на выпавших шарах в каждом тираже объявляется счастливой суммой, и те игроки, кто эту сумму предсказал, получают выигрыш.
Может ли быть, что события $A$ «в основном тираже счастливая сумма равна 63» и $B$ «в дополнительном тираже счастливая сумма равна 44» равновероятны? Если да, то при каком условии?
Может ли быть, что события $A$ «в основном тираже счастливая сумма равна 63» и $B$ «в дополнительном тираже счастливая сумма равна 44» равновероятны? Если да, то при каком условии?
Ответ:
Решение:
В финал конкурса спектаклей к 8 марта вышли два спектакля. В первом играли $n$ учеников 5 класса А, а во втором — $n$ учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали $2n$ мам всех $2n$ учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что ровно половина мам честно голосует за лучший спектакль, а другая половина в любом случае голосует за спектакль, в котором участвует её ребенок.
Учительница математики предложила изменить схему голосования на конкурсе спектаклей. По её мнению, нужно из всех $2n$ мам выбрать случайным образом жюри из $2m$ человек ($2m\leqslant n$). Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит при таких условиях голосования.
Учительница математики предложила изменить схему голосования на конкурсе спектаклей. По её мнению, нужно из всех $2n$ мам выбрать случайным образом жюри из $2m$ человек ($2m\leqslant n$). Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит при таких условиях голосования.
Ответ:
Решение:
У Вали в коробке $n$ синих и $k\leqslant n$ красных бусин. Она вынимает все бусины по очереди в случайном порядке, нанизывает их на нитку и связывает концы нитки. Найдите вероятность того, что в получившемся ожерелье никакие две красные бусины не окажутся рядом.
Ответ:
Решение:
Симметричный игральный кубик бросают много раз. Какова вероятность того, что перед тем как первый раз выпадет грань с нечетным числом, все грани с четными числами выпадут хотя бы по разу?
Ответ:
Решение:
Турнир по олимпийской системе проходит в несколько туров: все игроки разбиваются на пары, проигравший в каждой паре выбывает из турнира, победители снова разбиваются на пары. Так происходит, пока не останется единственная пара игроков; победитель в этой паре объявляется победителем турнира, а проигравший занимает второе место. Провести олимпийский турнир можно, если число игроков является степенью числа 2.
Однажды 96 теннисистов случайным образом разбились на две группы — малую, в которой 32 игрока и большую, в которой 64 игрока. Известно, что среди этих 96 теннисистов нет двух, играющих одинаково хорошо, и в любой встрече побеждает тот, кто играет лучше.
В малой группе был проведён Малый олимпийский турнир по теннису из пяти туров. В большой группе был проведён Большой олимпийский турнир из шести туров. Какова вероятность того, что при встрече победитель Малого турнира проиграет игроку, занявшему второе место в Большом турнире?
Однажды 96 теннисистов случайным образом разбились на две группы — малую, в которой 32 игрока и большую, в которой 64 игрока. Известно, что среди этих 96 теннисистов нет двух, играющих одинаково хорошо, и в любой встрече побеждает тот, кто играет лучше.
В малой группе был проведён Малый олимпийский турнир по теннису из пяти туров. В большой группе был проведён Большой олимпийский турнир из шести туров. Какова вероятность того, что при встрече победитель Малого турнира проиграет игроку, занявшему второе место в Большом турнире?
Ответ:
Решение:
Группа, в которой 27 студентов, сдает письменный зачёт по решению олимпиадных задач. Преподаватель заготовил зачётную работу в 3 вариантах и распределяет варианты случайным образом с единственным условием: количество тех, кто получил разные варианты, должно отличаться не больше чем на единицу. Перед зачётом между студентами Сергеем и Алексеем состоялся следующий диалог.
С: Вероятность того, что у нас с тобой окажется один и тот же вариант, равна $1/3$.
А: Если сегодня кто-то один не придёт на зачёт, то она окажется меньше, чем была бы, если бы пришли все.
С: Если сегодня не придут двое, то она окажется меньше, чем была бы, если бы не пришёл кто-то один.
а) Верно ли первое утверждение Сергея?
б) Верно ли утверждение Алексея?
в) Верно ли второе утверждение Сергея?
С: Вероятность того, что у нас с тобой окажется один и тот же вариант, равна $1/3$.
А: Если сегодня кто-то один не придёт на зачёт, то она окажется меньше, чем была бы, если бы пришли все.
С: Если сегодня не придут двое, то она окажется меньше, чем была бы, если бы не пришёл кто-то один.
а) Верно ли первое утверждение Сергея?
б) Верно ли утверждение Алексея?
в) Верно ли второе утверждение Сергея?
Ответ:
Решение:
Есть очень много симметричных игральных кубиков. Их бросают одновременно. При этом с некоторой вероятностью $p\gt 0$ может получиться сумма очков 2022. Какова наименьшая сумма очков, которая может выпасть при бросании этих кубиков с той же вероятностью $p$?
Ответ:
Решение:
Когда Витя был первоклассником, у него была касса цифр с 12 карточками: две карточки с цифрой 1, две карточки с цифрой 2 и так далее до цифры 6. Витя выложил их на стол в ряд в случайном порядке слева направо, а затем убрал первую единицу, первую двойку, первую тройку и так далее. Например, если у Вити сначала была последовательность 434653625112, то получилась бы последовательность 436512. Какова вероятность того, что у Вити на столе осталась последовательность 123456?
Ответ:
Решение:
Три рыцаря случайным образом рассаживаются на стулья, расставленные вокруг стола при дворе короля Артура. Какова вероятность того, что по обе стороны от каждого рыцаря окажется свободный стул, если:
а) стульев всего 7?
б) стульев всего $n$?
а) стульев всего 7?
б) стульев всего $n$?
Ответ:
Решение:
Турнир по анчурийским шашкам проводится в несколько туров. Если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остается без пары и не участвует в туре. Ничьей случиться не может, проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира.
На турнир по анчурийским шашкам приехало 26 участников, причем все они играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Среди игроков Денис и Олег. Найдите вероятность того, что они сыграют между собой.
На турнир по анчурийским шашкам приехало 26 участников, причем все они играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Среди игроков Денис и Олег. Найдите вероятность того, что они сыграют между собой.
Ответ:
Решение:
Случайным образом в шеренгу становятся 20 воспитанников детского сада, из них 11 девочек и 9 мальчиков. Найдите вероятность того, что между первым и последним мальчиками окажется не больше пяти девочек.
Ответ:
Решение:
На новогоднем празднике у троих первоклассников на голове зелёные колпаки, а у шестерых — красные. Все девять встают в хоровод вокруг ёлки в случайном порядке. Найдите вероятность того, что никакие два первоклассника в зелёных колпаках не окажутся рядом.
Ответ:
Решение:
На новогоднем празднике у троих первоклассников на голове красные колпаки, а у семерых — синие. Все десять встают в хоровод вокруг ёлки в случайном порядке. Найдите вероятность того, что хотя бы два первоклассника в красных колпаках окажутся рядом.
Ответ:
Решение:
Неправдоподобная легенда гласит, что однажды Стирлинг размышлял над числами Стирлинга второго рода и в задумчивости бросал на стол 10 правильных игральных костей. После очередного броска он вдруг заметил, что в выпавшей комбинации очков присутствуют все числа от 1 до 6. Тут же Стирлинг задумался, а какова же вероятность такого события? Какова вероятность, что при бросании 10 костей каждое число очков от 1 до 6 выпадет хотя бы на одной кости?
Ответ:
Решение:
На конференцию приехали 18 ученых, из которых ровно 10 знают сногсшибательную новость. Во время перерыва (кофе-брейка) все ученые разбиваются на случайные пары, и в каждой паре каждый, кто знает новость, рассказывает эту новость другому, если тот её ещё не знал.
а) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число ученых, знающих новость, будет равно 13.
б) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число ученых, знающих новость, будет равно 14.
в) Обозначим буквой $X$ количество ученых, которые знают сногсшибательную новость после кофе-брейка. Найдите математическое ожидание $X$.
а) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число ученых, знающих новость, будет равно 13.
б) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число ученых, знающих новость, будет равно 14.
в) Обозначим буквой $X$ количество ученых, которые знают сногсшибательную новость после кофе-брейка. Найдите математическое ожидание $X$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом многоугольнике, в котором нечетное число вершин, равное $2n+1$, выбирают независимо друг от друга две случайные диагонали. Найдите вероятность того, что эти диагонали пересекаются внутри многоугольника.
Ответ:
Решение:
Монету бросают $n$ раз. Полосой удачи длины $k$ назовем последовательность из $k$ выпавших подряд орлов. Найдите вероятность того, что при 10 бросаниях монеты самая длинная полоса удачи будет иметь длину 4.
Ответ:
Решение: