В некоторую карточную игру играют вчетвером. Чтобы определить, кому начинать игру, обычно бросают жребий «до первого туза». Всего в колоде 32 карты, от семёрок до тузов. Один из игроков раздаёт всем карты в открытую по очереди по часовой стрелке (себе — последнему), пока кому-то не достанется туз. Этому игроку и предстоит начать игру.
а) Для каждого игрока найдите вероятность того, что ему достанется первый туз.
б) Как изменить правила, чтобы сделать жребий справедливым?
а) Для каждого игрока найдите вероятность того, что ему достанется первый туз.
б) Как изменить правила, чтобы сделать жребий справедливым?
Ответ:
Решение:
Муха ползет из начала координат. При этом муха двигается только по линиям целочисленной сетки вправо или вверх (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.
Найдите вероятность того, что в какой-то момент:
а) муха окажется в точке $(8;10)$;
б) муха окажется в точке $(8;10)$, по дороге пройдя по отрезку, соединяющему точки $(5;6)$ и $(6;6)$;
в) муха окажется в точке $(8;10)$, пройдя внутри круга радиуса 3 с центром в точке $(4;5)$.
Найдите вероятность того, что в какой-то момент:
а) муха окажется в точке $(8;10)$;
б) муха окажется в точке $(8;10)$, по дороге пройдя по отрезку, соединяющему точки $(5;6)$ и $(6;6)$;
в) муха окажется в точке $(8;10)$, пройдя внутри круга радиуса 3 с центром в точке $(4;5)$.
Ответ:
Решение:
В автобусе $n$ мест, и все билеты проданы $n$ пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету.
Ответ:
Решение:
В здании $n$ этажей и две лестницы, идущие от первого до последнего этажа. На каждой лестнице между каждыми двумя этажами на промежуточной лестничной площадке есть дверь, разделяющая этажи (с лестницы на этаж пройти можно, даже если дверь заперта). Комендант решил, что слишком много открытых дверей — это плохо, и запер ровно половину дверей, выбрав двери случайным образом. Какова вероятность того, что можно подняться с первого этажа на последний, проходя только через открытые двери?
Ответ:
Решение:
В Анчурии проходит чемпионат по шашкам в несколько туров. Дни и города проведения туров определяются жеребьевкой. По правилам чемпионата никакие два тура не могут пройти в одном городе, и никакие два тура не могут пройти в один день. Среди болельщиков устраивается лотерея: главный приз получает тот, кто до начала чемпионата правильно угадает, в каких городах и в какие дни пройдут все туры. Если никто не угадает, то главный приз перейдет в распоряжение оргкомитета чемпионата. Всего в Анчурии восемь городов, а на чемпионат отведено всего восемь дней. Сколько туров чемпионата должен назначить оргкомитет, чтобы с наибольшей вероятностью получить главный приз самому?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
На каждой из четырех карточек написано натуральное число. Берут наугад две карточки и складывают числа на них. С равной вероятностью эта сумма может быть меньше 9, равна 9 и больше 9. Какие числа могут быть записаны на карточках?
Ответ:
Решение:
В ящике $n$ пронумерованных шаров. Шары вынимали по одному в случайном порядке. Каждый раз вынутый шар возвращали в ящик и шары перемешивали перед следующим извлечением. Случилось так, что в четвертый раз вынули шар, который уже вынимали прежде, а перед этим повторов не было. При каком $n$ вероятность этого события наибольшая?
Ответ:
Решение:
Множество, состоящее из $n$ последовательных натуральных чисел, назовём отрезком натурального ряда длиной $n$.
Из некоторого отрезка натурального ряда длиной $n$ случайным образом выбирают 15 чисел. При каком $n$ окажется наибольшей вероятность того, что среди выбранных окажутся числа 21, 190 и 2025?
Из некоторого отрезка натурального ряда длиной $n$ случайным образом выбирают 15 чисел. При каком $n$ окажется наибольшей вероятность того, что среди выбранных окажутся числа 21, 190 и 2025?
Ответ:
Решение:
Алиса и Василиса коллекционируют наклейки с персонажами мультфильмов. Всего в коллекции 20 разных персонажей. У Алисы уже есть 14 разных наклеек, а у Василисы — 16. Какова вероятность того, что, объединив свои наклейки, они смогут выбрать из них полную коллекцию? Ответ округлите до тысячных.
Ответ:
Решение:
В лотерейном билете напечатаны номера от 1 до 45. Двое участников лотереи независимо друг от друга зачеркивают в своих билетах по 6 номеров. Первый выбирает номера совершенно случайным образом, а второй следует правилу: среди его номеров должно быть ровно два однозначных числа, при этом чётных и нечётных должно быть поровну. Какова вероятность того, что в их комбинациях окажется ровно один общий зачёркнутый номер? Результат округлите до тысячных.
Ответ:
Решение:
В двух коробках лежали белые и красные шары, причём в первой коробке на 4 белых шара приходилось 3 красных, а во второй коробке на 3 белых шара приходилось 2 красных. Все шары ссыпали в один мешок, хорошо перемешали и теперь из мешка собираются вынуть один случайный шар. Три математика делают прогнозы.
Первый: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{7}{12}$».
Второй: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{11}{19}$».
Третий: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{19}{35}$».
Кто из математиков может оказаться прав?
Первый: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{7}{12}$».
Второй: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{11}{19}$».
Третий: «Шар окажется белым с вероятностью $\frac{19}{35}$».
Кто из математиков может оказаться прав?
Ответ:
Решение:
Понятно, что если взять случайное натуральное число из достаточно длинного отрезка натурального ряда, то вероятность того, что это число будет делиться на 10, будет тем ближе к 0,1, чем длиннее отрезок.
Поставим другой вопрос: насколько сильно эта вероятность может отличаться от 0,1? Она может быть равна 0, если, например, мы задали отрезок 1, 2, 3, где ни одно число не делится на 10. А какова:
а) наибольшая возможная вероятность;
б) минимально возможная ненулевая вероятность?
Поставим другой вопрос: насколько сильно эта вероятность может отличаться от 0,1? Она может быть равна 0, если, например, мы задали отрезок 1, 2, 3, где ни одно число не делится на 10. А какова:
а) наибольшая возможная вероятность;
б) минимально возможная ненулевая вероятность?
Ответ:
Решение:
У Вали есть две правильные игральные кости в форме икосаэдра (икосаэдр — правильный двадцатигранник, см. рисунок).
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 50 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 50 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Ответ:
Решение:
У Вали есть две правильные игральные кости в форме икосаэдра (икосаэдр — правильный двадцатигранник, см. рисунок).
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 100 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Валя хочет написать на гранях числа так, чтобы при случайном бросании этих двух икосаэдров сумма выпавших чисел принимала все натуральные значения от 1 до 100 с равными вероятностями. Приведите пример, как Валя может разметить икосаэдры.
Ответ:
Решение:
Тёма и Сёма собирают купоны из стаканчиков с мороженым. Всего в коллекции 17 разных купонов. На данный момент у Тёмы 11 разных купонов, а у Сёмы — только 9 разных купонов. Какова вероятность того, что если Тёма и Сёма объединят свои коллекции, то у них вместе получится полная коллекция?
Ответ:
Решение:
У Нины в корзинке 36 подосиновиков и 14 белых грибов. Нина не глядя достаёт из корзинки по одному грибу. Подосиновики она откладывает в одну кучку, а белые — в другую. В какой-то момент Нина взяла из корзинки последний белый гриб. Какова вероятность того, что в этот момент в корзинке осталось ровно 2 подосиновика?
Ответ:
Решение:
Варя и Валя собирают наклейки из творожных сырков. Всего в коллекции 18 разных наклеек. Известно, что сейчас у Вари 12 разных наклеек, а у Вали — только 10 разных наклеек. Какова вероятность того, что если Варя и Валя объединят свои коллекции, то у них вместе получится полная коллекция?
Ответ:
Решение:
У Маши в корзинке 15 подосиновиков и 12 белых грибов. Маша не глядя достаёт из корзинки по одному грибу. Подосиновики Маша откладывает в одну кучку, а белые — в другую. В какой-то момент Маша взяла из корзинки последний белый гриб. Какова вероятность того, что в этот момент в корзинке осталось ровно 3 подосиновика?
Ответ:
Решение:
Круговой турнир по швамбранским шахматам проводится в несколько туров. Все игроки разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то один случайный игрок остается без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое. Они играют между собой последнюю партию, которая выявляет победителя турнира.
В Швамбранию на шахматный турнир приехало 23 участника, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Олегу при жеребьёвке выпало играть с кем-то из соперников в первом туре. Какова вероятность того, что при этом условии Олег станет победителем турнира?
В Швамбранию на шахматный турнир приехало 23 участника, причем все играют одинаково хорошо, то есть в партии, которую играют любые двое, шансы соперников одинаковы. Известно, что игроку Олегу при жеребьёвке выпало играть с кем-то из соперников в первом туре. Какова вероятность того, что при этом условии Олег станет победителем турнира?
Ответ:
Решение: